Determine os extremos absolutos da função y=x^{2} nos intervalos definidos
D=(0,2)

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2} e o domínio D=(0,2). A tarefa é determinar os extremos absolutos dessa função restrita a esse domínio — isto é, encontrar (se existirem) pontos c\in D tais que y\text{(c)} seja o menor valor possível em D (mínimo absoluto) ou o maior valor possível em D (máximo absoluto).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é y=x^{2}.
  • O domínio considerado é o intervalo aberto D=(0,2) (isso significa que 0 e 2 não pertencem ao domínio).

Passo 2

Definição de extremos absolutos (explicação didática):
  • Dizemos que f tem um mínimo absoluto em c\in D se, para todo x\in D, f\text{(c)}\le f(x).
  • Dizemos que f tem um máximo absoluto em c\in D se, para todo x\in D, f\text{(c)}\ge f(x).
    Importante: se o ponto que fornece o menor ou maior valor está fora do domínio (por exemplo, em uma extremidade de um intervalo aberto), então esse extremo não é atingido na função restrita ao domínio. Em provas, é comum verificar tanto pontos críticos interiores quanto o comportamento próximo às extremidades do intervalo.

Passo 3

Propriedades da função que vamos usar (aulas rápidas):
  • A função f(x)=x^{2} é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}, portanto também em D=(0,2).
  • Derivada: f'(x)=2x.
Explicação do que isto significa: a derivada indica a taxa de variação. Aqui, para todo x\in(0,2) temos f'(x)=2x>0. Uma função cuja derivada é estritamente positiva em um intervalo é estritamente crescente nesse intervalo. Portanto f é estritamente crescente em D.

Passo 4

Consequência da monotonicidade (como usar isso numa prova):
Como f é estritamente crescente em D=(0,2), valores mais à esquerda em D produzem valores de f menores, e valores mais à direita produzem valores de f maiores. Em um intervalo fechado [a,b] isso significaria que o mínimo absoluto acontece em a e o máximo absoluto em b. Mas aqui o intervalo é aberto, então as extremidades não pertencem a D; então, se o “mínimo” ou “máximo” ideal ficarem nas extremidades, eles não são atingidos.

Passo 5

Análise dos extremos efetivos usando limites nas extremidades:
  • Limite quando x tende para 0 pela direita: \lim_{x\to 0^{+}} x^{2}=0.
Isto mostra que os valores de f(x) em D podem ser arbitrariamente próximos de 0 mas, como 0\notin D, nenhum x\in D fornece exatamente f(x)=0. Logo não existe c\in D com f\text{(c)}=0. Portanto não há mínimo absoluto alcançado em D, embora o ínfimo (menor limite possível) seja 0.
  • Limite quando x tende para 2 pela esquerda: \lim_{x\to 2^{-}} x^{2}=4.
Analogamente, os valores de f(x) em D podem chegar arbitrariamente perto de 4 mas, como 2\notin D, nenhum x\in D dá exatamente f(x)=4. Então não existe máximo absoluto alcançado em D, embora o supremo (maior limite possível) seja 4.

Passo 6

Verificação por pontos críticos (metodo alternativo explicado):
  • Procuramos f'(x)=0 para possíveis extremos interiores. Temos f'(x)=2x, então f'(x)=0 implica x=0. Mas x=0\notin D. Portanto não há pontos críticos em D que possam ser extremos absolutos. Isso confirma a conclusão obtida pela monotonicidade.

Passo 7

Conclusão e resposta prática para a prova (como responder de forma objetiva):
  • Não existe mínimo absoluto em D=(0,2) (o ínfimo é 0 mas não é atingido).
  • Não existe máximo absoluto em D=(0,2) (o supremo é 4 mas não é atingido).

Resposta

Não há mínimo absoluto em D=(0,2) (infimum =0, não atingido).
Não há máximo absoluto em D=(0,2) (supremum =4, não atingido).

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