Determine os extremos absolutos da função
nos intervalos definidos
Passo 1
O enunciado dá a função
e o domínio
. A tarefa é determinar os extremos absolutos dessa função restrita a esse domínio — isto é, encontrar (se existirem) pontos
tais que
seja o menor valor possível em
(mínimo absoluto) ou o maior valor possível em
(máximo absoluto).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O domínio considerado é o intervalo aberto
(isso significa que e não pertencem ao domínio).
Passo 2
Definição de extremos absolutos (explicação didática):
- Dizemos que
tem um mínimo absoluto em se, para todo , . - Dizemos que
tem um máximo absoluto em se, para todo , .
Importante: se o ponto que fornece o menor ou maior valor está fora do domínio (por exemplo, em uma extremidade de um intervalo aberto), então esse extremo não é atingido na função restrita ao domínio. Em provas, é comum verificar tanto pontos críticos interiores quanto o comportamento próximo às extremidades do intervalo.
Passo 3
Propriedades da função que vamos usar (aulas rápidas):
- A função
é contínua e diferenciável em todo , portanto também em . - Derivada:
Explicação do que isto significa: a derivada indica a taxa de variação. Aqui, para todo
temos
. Uma função cuja derivada é estritamente positiva em um intervalo é estritamente crescente nesse intervalo. Portanto
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Consequência da monotonicidade (como usar isso numa prova):
Como é estritamente crescente em
, valores mais à esquerda em
produzem valores de
menores, e valores mais à direita produzem valores de
maiores. Em um intervalo fechado
isso significaria que o mínimo absoluto acontece em
e o máximo absoluto em
. Mas aqui o intervalo é aberto, então as extremidades não pertencem a
; então, se o “mínimo” ou “máximo” ideal ficarem nas extremidades, eles não são atingidos.
Como
Passo 5
Análise dos extremos efetivos usando limites nas extremidades:
- Limite quando
tende para pela direita:
Isto mostra que os valores de
em
podem ser arbitrariamente próximos de
mas, como
, nenhum
fornece exatamente
. Logo não existe
com
. Portanto não há mínimo absoluto alcançado em
, embora o ínfimo (menor limite possível) seja
.
- Limite quando
tende para pela esquerda:
Analogamente, os valores de
em
podem chegar arbitrariamente perto de
mas, como
, nenhum
dá exatamente
. Então não existe máximo absoluto alcançado em
, embora o supremo (maior limite possível) seja
.
Passo 6
Verificação por pontos críticos (metodo alternativo explicado):
- Procuramos
para possíveis extremos interiores. Temos , então implica . Mas . Portanto não há pontos críticos em que possam ser extremos absolutos. Isso confirma a conclusão obtida pela monotonicidade.
Passo 7
Conclusão e resposta prática para a prova (como responder de forma objetiva):
- Não existe mínimo absoluto em
(o ínfimo é mas não é atingido). - Não existe máximo absoluto em
(o supremo é mas não é atingido).
Resposta
Não há mínimo absoluto em
(infimum
, não atingido).
Não há máximo absoluto em (supremum
, não atingido).
Não há máximo absoluto em