Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função . Isso envolve cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de pontos críticos. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o comportamento delas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá soluções ou .
Então, os pontos críticos são:
  • Para : → Ponto
  • Para : → Ponto
  • Para : → Ponto

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O determinante do Hessiano ( ) é dado por:
Vamos avaliar e em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
    Como , o ponto é um ponto de sela.
  2. Ponto (1, 1):
    Como e , o ponto é um mínimo local.
  3. Ponto (-1, -1):
    Assim, este ponto também é um mínimo local.

Resposta

A função possui:
  • Um ponto de sela em
  • Mínimos locais nos pontos e

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