Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Isso envolve cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de pontos críticos. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar o comportamento delas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá soluções
ou
.
Então, os pontos críticos são:
- Para
: → Ponto - Para
: → Ponto - Para
: → Ponto
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O determinante do Hessiano (
) é dado por:
Vamos avaliar
e
em cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):Como
, o ponto é um ponto de sela. -
Ponto (1, 1):Como
e , o ponto é um mínimo local. -
Ponto (-1, -1):Assim, este ponto também é um mínimo local.
Resposta
A função
possui:
- Um ponto de sela em
- Mínimos locais nos pontos
e