Determine os valores de Pinfty e Einfty para cada um dos seguintes sinais:
x3[n]=cos (pi4 n)

Passo 1

Beleza, o problema é: “Determine os valores de x3[n]=cos!l(pi4nr) e para o sinal
Isso cai em “sinais de energia e sinais de potência” em sinais e sistemas. Vamos precisar das definições de energia e de potência para sinais discretos e de umas identidades trigonométricas para calcular as médias.

Passo 2

Primeiro, a teoria:
  1. Energia total de um sinal discreto Einfty ;=;sumn=-infty^infty l|x[n]r|^2 é
    Pinfty ;=;limNtoinfty12N+1sumn=-N^Nl|x[n]r|^2
    Se isso convergir para um valor finito, chamamos o sinal de sinal de energia. Se divergir, é infinito.
  2. Potência média de um sinal discreto é
    Einfty = sumn=-infty^infty cos^2!l(tfracpi4nr) = infty
    Se isso der um valor finito e não zero, chamamos de sinal de potência.
No nosso caso é periódico (período ), e um sinal periódico não tem energia finita, porque você somaria infinitos ciclos. Então já dá para ver que

Passo 3

Agora vamos achar a potência média. Como o sinal é periódico de período Pinfty =1N0sumn=0^N0-1 cos^2!l(tfracpi4nr) , podemos usar
cos^2theta = 1+cos(2theta)2
Para calcular essa soma, lembramos da identidade
cos^2!l(tfracpi4nr) = 1 + cos!l(tfracpi2nr)2
Logo,
sumn=0^7cos^2!l(tfracpi4nr) = sumn=0^7 12 = 8cdot12 = 4
Se somarmos Pinfty = 18times 4 = 12 para , dá zero (porque são 4 valores +1 e 4 valores –1). Então
Assim

Resposta


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