Determine os valores reais de x para que exista:
\log _{5}(5 x-2)+\log _{5}(x-3)

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os valores reais de x tais que a expressão
\log_{5}(5x-2) \;+\;\log_{5}(x-3)
exista. O conteúdo principal aqui é o domínio de uma soma de logaritmos: para que \log_{5}(A) exista, é necessário que A>0.

Passo 2

Para que ambos os logaritmos existam, devemos ter simultaneamente
5x - 2 > 0
e
x - 3 > 0.

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade:
5x - 2 > 0 \quad\Longrightarrow\quad 5x > 2 \quad\Longrightarrow\quad x > \tfrac{2}{5}.

Passo 4

Resolver a segunda desigualdade:
x - 3 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > 3.

Passo 5

A condição que satisfaz ambas as desigualdades é a interseção dos conjuntos
\{\,x> \tfrac{2}{5}\} \quad\cap\quad \{\,x>3\} \;=\;\{\,x>3\}.

Resposta

x\in(3,\infty).

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