Determine os valores a serem preenchidos na tabela abaixo. Considere quando necessário a massa molar de 220 do analito. Efetue os cálculos.
A \boldsymbol{\%} \boldsymbol{T}
\mathrm{L} \mathrm{mol}^{-1} \mathrm{~cm}^{-1}
\varepsilon
\boldsymbol{a} b c
\mathrm{cm}^{-1} \mathrm{ppm}^{-1} cm M ppm
0,172 4,23 \times 10^{3} 1,00
44,9 0,0258 1,35 \times 10^{-4}
0,520 7,95 \times 10^{3} 1,00
39,6 0,0912 1,76

Passo 1

O enunciado apresenta uma tabela com várias grandezas relacionadas à espectrofotometria (absorbância, transmitância, absortividade molar, comprimento de cuba, concentrações em mol L^{-1} e em ppm) e pede para completar os valores faltantes. Dados explícitos (peguei-os da tabela):
  • Linha 1: \;A=0,172, \varepsilon=4,23\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}, b=1,00\\ \mathrm{cm}.
  • Linha 2: \%\!T=44,9\%, a=0,0258\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}, c=1,35\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.
  • Linha 3: \;A=0,520, \varepsilon=7,95\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}, b=1,00\\ \mathrm{cm}.
  • Linha 4: \%\!T=39,6\%, a=0,0912\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}, c=1,76\\ \mathrm{ppm}.
Informação adicional a usar quando necessário: massa molar do analito \mathrm{MM}=220\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
O objetivo é completar os campos vazios em cada linha: calcular \%\!T ou A quando faltar, calcular a (se necessário), calcular \varepsilon quando possível, determinar b quando for o valor desconhecido, e converter concentrações entre mol L^{-1} e ppm.

Passo 2

Ferramentas e fórmulas que vamos usar (explicação didática passo a passo):
  1. Lei de Beer–Lambert (forma usual):
A = \varepsilon \, b \, c
onde
  • A é a absorbância (adimensional),
  • \varepsilon é a absortividade molar em \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}},
  • b é o comprimento óptico da cuba em \mathrm{cm},
  • c é a concentração em \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  1. Relação entre transmitância e absorbância:
T = \frac{I}{I_0}\quad\text{e}\quad A = -\log_{10}T.
Como o enunciado usa \%\!T (porcentagem), lembre-se que T=\dfrac{\%\!T}{100}. Portanto, para passar de \%\!T para A usamos
A = -\log_{10}\!\bigg(\frac{\%\!T}{100}\bigg).
  1. Conversão entre concentração em ppm (partes por milhão, aqui como mg L^{-1}) e mol L^{-1}. Assumimos a convenção usual para soluções aquosas: 1\\ \mathrm{ppm}=1\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}. Então:
c\\ (\mathrm{mol\;L^{-1}})=\frac{\text{ppm}\times 10^{-3}\\ \mathrm{g\;mg^{-1}}}{\mathrm{MM}\\ (\mathrm{g\;mol^{-1}})} =\text{ppm}\times\frac{10^{-3}}{\mathrm{MM}}.
E o inverso:
\text{ppm}=c\\ (\mathrm{mol\;L^{-1}})\times \mathrm{MM}\times 10^{3}.
  1. A tabela tem uma coluna a com unidade \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}. Explicação do que é a: se expressamos a concentração em ppm, podemos escrever (substituindo c por sua expressão em ppm na Lei de Beer):
A = \varepsilon\, b \left(\text{ppm}\times\frac{10^{-3}}{\mathrm{MM}}\right) = \underbrace{\varepsilon\left(\frac{10^{-3}}{\mathrm{MM}}\right)}_{a}\; b\; \text{ppm}.
Logo definimos
a = \varepsilon\left(\frac{10^{-3}}{\mathrm{MM}}\right),
com unidade \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}. Observe que então
A = a\, b\, \text{ppm}.
Resumo prático das fórmulas que usaremos em cada caso:
  • Se tiver \%\!T então A=-\log_{10}(\%\!T/100).
  • Se tiver A,\varepsilon,b então c=\dfrac{A}{\varepsilon b} (em mol L^{-1}).
  • Conversão \text{ppm}=c\times\mathrm{MM}\times 10^{3} e c=\text{ppm}\times\dfrac{10^{-3}}{\mathrm{MM}}.
  • Relação entre a e \varepsilon: a=\varepsilon\cdot\dfrac{10^{-3}}{\mathrm{MM}}.
  • Relação para obter \varepsilon a partir de a: \varepsilon=a\cdot\dfrac{\mathrm{MM}}{10^{-3}}=a\cdot(\mathrm{MM}\times 10^{3}).
Agora aplicamos essas fórmulas linha a linha.

Passo 3

Linha 1 (dados: \;A=0,172, \varepsilon=4,23\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}, b=1,00\\ \mathrm{cm}).
  1. Calcular \%\!T:
T=10^{-A}=10^{-0,172}\quad\Rightarrow\quad \%\!T=100\cdot 10^{-0,172}.
Cálculo numérico:
10^{-0,172}\approx 0,6736\quad\Rightarrow\quad \%\!T\approx 67,36\%.
Arredondando razoavelmente: \%\!T=67,3\%.
  1. Calcular a pela fórmula a=\varepsilon\cdot\dfrac{10^{-3}}{\mathrm{MM}} com \mathrm{MM}=220:
a = 4{,}23\times10^{3}\cdot\frac{10^{-3}}{220} =4{,}23\times10^{3}\cdot\frac{1}{220000} = \frac{4{,}23}{220}\approx 0{,}019227.
Assim a\approx 0{,}01923\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}.
  1. Calcular concentração em mol L^{-1} via Beer:
c=\frac{A}{\varepsilon b}=\frac{0{,}172}{4{,}23\times10^{3}\cdot 1{,}00} =\frac{0{,}172}{4230}\approx 4{,}07\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  1. Converter para ppm:
\text{ppm}=c\times\mathrm{MM}\times10^{3}=4{,}0669\times10^{-5}\times220\times10^{3}\approx 8{,}95\\ \text{ppm}.
Resumo linha 1 (valores calculados): \%\!T\approx 67,3\%, a\approx 0{,}01923\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}, c\approx 4{,}07\times10^{-5}\\ \mathrm{M}, \text{ppm}\approx 8{,}95.

Passo 4

Linha 2 (dados: \%\!T=44,9\%, a=0,0258\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}, c=1,35\times10^{-4}\\ \mathrm{M}).
  1. Calcular A a partir de \%\!T:
A=-\log_{10}\!\bigg(\frac{44{,}9}{100}\bigg)=-\log_{10}(0{,}449)\approx 0{,}3472.
  1. Calcular \varepsilon a partir de a (inverter a=\varepsilon\cdot\dfrac{10^{-3}}{\mathrm{MM}}):
\varepsilon = a\cdot\frac{\mathrm{MM}}{10^{-3}} = a\cdot(220\times10^{3}) = 0{,}0258\times220000 = 5676.
Portanto \varepsilon\approx 5{,}676\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.
  1. Calcular o comprimento óptico b usando A=\varepsilon b c:
b=\frac{A}{\varepsilon c}=\frac{0{,}3472}{5{,}676\times10^{3}\cdot 1{,}35\times10^{-4}} =\frac{0{,}3472}{0{,}76626}\approx 0{,}4533\\ \mathrm{cm}.
  1. Converter c em ppm:
\text{ppm}=c\times\mathrm{MM}\times10^{3}=1{,}35\times10^{-4}\times220\times10^{3}=29{,}7\\ \text{ppm}.
Resumo linha 2 (valores calculados): A\approx 0{,}347, \varepsilon\approx 5{,}676\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}, b\approx 0{,}453\\ \mathrm{cm}, \text{ppm}\approx 29{,}7.

Passo 5

Linha 3 (dados: \;A=0,520, \varepsilon=7,95\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}, b=1{,}00\\ \mathrm{cm}).
  1. Calcular \%\!T:
\%\!T=100\cdot 10^{-A}=100\cdot 10^{-0,520}.
Numérico:
10^{-0,520}\approx 0{,}3026\quad\Rightarrow\quad \%\!T\approx 30{,}26\%\\ (\text{aprox. }30{,}3\%).
  1. Calcular a:
a=\varepsilon\cdot\frac{10^{-3}}{\mathrm{MM}}=7{,}95\times10^{3}\cdot\frac{10^{-3}}{220} = \frac{7{,}95}{220}\approx 0{,}036136.
Logo a\approx 0{,}03614\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}.
  1. Calcular c em mol L^{-1}:
c=\frac{A}{\varepsilon b}=\frac{0{,}520}{7{,}95\times10^{3}\cdot 1{,}00} =\frac{0{,}520}{7950}\approx 6{,}5447\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
  1. Converter para ppm:
\text{ppm}=6{,}5447\times10^{-5}\times220\times10^{3}\approx 14{,}40\\ \text{ppm}.
Resumo linha 3: \%\!T\approx 30{,}3\%, a\approx 0{,}03614\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}, c\approx 6{,}54\times10^{-5}\\ \mathrm{M}, \text{ppm}\approx 14{,}40.

Passo 6

Linha 4 (dados: \%\!T=39,6\%, a=0,0912\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}, c=1{,}76\\ \mathrm{ppm}).
  1. Calcular A a partir de \%\!T:
A=-\log_{10}\!\bigg(\frac{39{,}6}{100}\bigg)=-\log_{10}(0{,}396)\approx 0{,}4023.
  1. Calcular \varepsilon a partir de a:
\varepsilon = a\cdot(\mathrm{MM}\times10^{3}) = 0{,}0912\times220000 = 20064.
Logo \varepsilon\approx 2{,}0064\times10^{4}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}.
  1. Calcular o comprimento b usando A=a\,b\,\text{ppm} (forma conveniente quando usamos ppm):
b=\frac{A}{a\cdot\text{ppm}}=\frac{0{,}4023}{0{,}0912\times1{,}76} =\frac{0{,}4023}{0{,}160512}\approx 2{,}505\\ \mathrm{cm}.
  1. Calcular c em mol L^{-1} a partir de \text{ppm}=1{,}76:
c=\text{ppm}\times\frac{10^{-3}}{\mathrm{MM}}=1{,}76\times\frac{10^{-3}}{220} =1{,}76\times4{,}54545\times10^{-6}=8{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{M}.
Verificação rápida (opcional): A=\varepsilon b c = 20064\times2{,}505\times 8{,}00\times10^{-6}\approx 0{,}402, consistente.
Resumo linha 4: A\approx 0{,}402, \varepsilon\approx 2{,}0064\times10^{4}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}, b\approx 2{,}505\\ \mathrm{cm}, c\approx 8{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{M}.

Resposta

Linha 1: \%\!T=67,3\%, a=0{,}01923\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}, c=4{,}07\times10^{-5}\\ \mathrm{M}, c=8{,}95\\ \mathrm{ppm}
Linha 2: A=0{,}347, \varepsilon=5{,}676\times10^{3}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}, b=0{,}453\\ \mathrm{cm}, c=29{,}7\\ \mathrm{ppm}
Linha 3: \%\!T=30,3\%, a=0{,}03614\\ \mathrm{cm^{-1}\;ppm^{-1}}, c=6{,}54\times10^{-5}\\ \mathrm{M}, c=14{,}40\\ \mathrm{ppm}
Linha 4: A=0{,}402, \varepsilon=2{,}0064\times10^{4}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;cm^{-1}}, b=2{,}505\\ \mathrm{cm}, c=8{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{M}

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