Determine os valores de x para os quais cada uma das expressões seguintes é positiva:
© x+1x-3 x in R / x<-1 ou x>3

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar os valores de x que tornam positiva a expressão x+1x-3>0. O conteúdo aqui é inequação racional: precisamos estudar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Identificamos onde numerador e denominador se anulem ou fiquem indefinidos: numerador x+1=0 em x=-1, denominador x-3=0 em x=3. Esses pontos particionam a reta real nos intervalos ( -infty,-1), (-1,3) e (3,+infty).

Passo 3

Em cada intervalo, analisamos o sinal de numerador e denominador: no intervalo x<-1, temos x+1<0 e x-3<0, logo x+1x-3>0. Para -1, x+1>0 e x-3<0, resultando em quociente negativo. Para x>3, x+1>0 e x-3>0, dando quociente positivo.

Passo 4

Como queremos x+1x-3>0, pegamos os intervalos onde o quociente é positivo. Além disso, lembramos que x não pode ser 3 (denominador zero) nem -1 (zero da expressão).

Resposta

x<-1 ou x>3

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