Determine para quais valores de
a função
dada a seguir é contínua.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: para quais valores de
a função
é contínua?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - A continuidade depende da existência da função (denominador não nulo) e do comportamento do limite quando necessário.
A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Definição prática de continuidade num ponto (lembrete didático): uma função
é contínua em
se e somente se
Uma consequência útil que usaremos: todo polinômio é contínuo em todo
, e o quociente de duas funções contínuas é contínuo em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Ou seja, se
e
são polinômios, então
é contínua em
sempre que
.
Passo 3
Vamos ver onde o denominador é zero (esses pontos são imediatamente candidatos a descontinuidade):
Portanto o denominador se anula quando
ou
, isto é:
-
(raiz de multiplicidade 2), -
(raiz de multiplicidade 1).
Logo a função
NÃO está definida em
e em
. Em todos os outros pontos o denominador é diferente de zero.
Passo 4
Pelo fato de numerador e denominador serem polinômios, ambos são contínuos em todo
. Portanto, onde o denominador é diferente de zero, a razão é contínua por regra do quociente. Assim, para qualquer
tal que
e
, tem-se que
é contínua em
.
Passo 5
Verificação de possíveis cancelamentos (remoção de descontinuidade): às vezes um zero do denominador pode ser removível se o numerador também for zero e houver fator comum que cancele. Vamos checar o numerador nos pontos problemáticos:
Como o numerador não zera nem em
nem em
, não há fator comum que cancele esses fatores do denominador. Portanto as singularidades em
e em
não são removíveis — a função simplesmente não está definida ali e, por isso, não é contínua nesses pontos.
Passo 6
Resumo didático (com comparação): funções como
têm um zero comum no numerador e denominador e podem ser simplificadas para
(remoção da descontinuidade em
). No nosso caso, não existe essa simplificação possível porque o numerador não compartilha os fatores
ou
. Assim a continuidade vale exatamente onde o denominador é não nulo.