Determine para quais valores de x \in \mathbb{R} a função f(x) dada a seguir é contínua.
f(x)=\frac{2 x-1}{x^{2}-x^{3}}\

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2x-1}{x^{2}-x^{3}}
e pede: para quais valores de x\in\mathbb{R} a função f é contínua?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão é uma razão de polinômios: numerador 2x-1 e denominador x^{2}-x^{3}.
  • A continuidade depende da existência da função (denominador não nulo) e do comportamento do limite quando necessário.
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (lembrete didático): uma função g é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Uma consequência útil que usaremos: todo polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}, e o quociente de duas funções contínuas é contínuo em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Ou seja, se p e q são polinômios, então p/q é contínua em a sempre que q(a)\neq0.

Passo 3

Vamos ver onde o denominador é zero (esses pontos são imediatamente candidatos a descontinuidade):
x^{2}-x^{3}=x^{2}(1-x).
Portanto o denominador se anula quando x^{2}=0 ou 1-x=0, isto é:
  • x=0 (raiz de multiplicidade 2),
  • x=1 (raiz de multiplicidade 1).
Logo a função f NÃO está definida em x=0 e em x=1. Em todos os outros pontos o denominador é diferente de zero.

Passo 4

Pelo fato de numerador e denominador serem polinômios, ambos são contínuos em todo \mathbb{R}. Portanto, onde o denominador é diferente de zero, a razão é contínua por regra do quociente. Assim, para qualquer a\in\mathbb{R} tal que a\neq0 e a\neq1, tem-se que f é contínua em a.

Passo 5

Verificação de possíveis cancelamentos (remoção de descontinuidade): às vezes um zero do denominador pode ser removível se o numerador também for zero e houver fator comum que cancele. Vamos checar o numerador nos pontos problemáticos:
\text{em }x=0:\quad 2x-1 = 2\cdot0-1 = -1 \neq 0;
\text{em }x=1:\quad 2x-1 = 2\cdot1-1 = 1 \neq 0.
Como o numerador não zera nem em x=0 nem em x=1, não há fator comum que cancele esses fatores do denominador. Portanto as singularidades em x=0 e em x=1 não são removíveis — a função simplesmente não está definida ali e, por isso, não é contínua nesses pontos.

Passo 6

Resumo didático (com comparação): funções como \dfrac{x^{2}-1}{x-1} têm um zero comum no numerador e denominador e podem ser simplificadas para x+1 (remoção da descontinuidade em 1). No nosso caso, não existe essa simplificação possível porque o numerador não compartilha os fatores x ou (1-x). Assim a continuidade vale exatamente onde o denominador é não nulo.

Resposta

f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{0,1\}, ou seja, para todos os x\in\mathbb{R} tais que x\neq0 e x\neq1.

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