Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão que vem no numerador é
. - A expressão que vem no denominador é
. - Ao substituir
diretamente, o numerador vale e o denominador vale . Logo a forma é do tipo indeterminado , então é necessário manipular algebricamente para calcular o limite.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicação didática): quando um denominador envolve diferença de radicais e gera indeterminação
, um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar as raízes. Se
e
, então o conjugado de
é
e vale a identidade de diferença de quadrados:
Isso transforma radicais em expressões polinomiais mais fáceis de simplificar.
Passo 3
Aplicando o conjugado multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 4
Simplificando o denominador usando diferença de quadrados:
Portanto a expressão fica
Passo 5
Fatorando o denominador
e cancelando o fator
(podemos cancelar porque estamos calculando um limite quando
, ou seja, para
próximos de
mas diferentes de
):
Passo 6
Agora usamos continuidade das funções envolvidas para avaliar o limite substituindo
na expressão simplificada:
Calculando os radicais:
então
Passo 7
Pequena checagem intuitiva:
é aproximadamente
. Para
muito pequeno positivo, o denominador
é ligeiramente negativo e proporcional a
, e o numerador é positivo pequeno, portanto faz sentido o limite ser um número negativo grande em magnitude — consistente com
. (Isto é apenas uma verificação informal.)