Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{10 x}{\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x+3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{10x}{\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x+3}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão que vem no numerador é 10x.
  • A expressão que vem no denominador é \sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x+3}.
  • Ao substituir x=0 diretamente, o numerador vale 0 e o denominador vale \sqrt{3}-\sqrt{3}=0. Logo a forma é do tipo indeterminado 0/0, então é necessário manipular algebricamente para calcular o limite.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicação didática): quando um denominador envolve diferença de radicais e gera indeterminação 0/0, um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar as raízes. Se a=\sqrt{x^{2}+3} e b=\sqrt{x+3}, então o conjugado de a-b é a+b e vale a identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Isso transforma radicais em expressões polinomiais mais fáceis de simplificar.

Passo 3

Aplicando o conjugado multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x+3}:
\frac{10x}{\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x+3}} = \frac{10x\big(\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x+3}\big)} {\big(\sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x+3}\big)\big(\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x+3}\big)}.

Passo 4

Simplificando o denominador usando diferença de quadrados:
\big(\sqrt{x^{2}+3}\big)^{2}-\big(\sqrt{x+3}\big)^{2}=(x^{2}+3)-(x+3)=x^{2}-x.
Portanto a expressão fica
\frac{10x\big(\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x+3}\big)}{x^{2}-x}.

Passo 5

Fatorando o denominador x^{2}-x=x(x-1) e cancelando o fator x (podemos cancelar porque estamos calculando um limite quando x\to0, ou seja, para x próximos de 0 mas diferentes de 0):
\frac{10x\big(\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x+3}\big)}{x(x-1)} = \frac{10\big(\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x+3}\big)}{x-1}.

Passo 6

Agora usamos continuidade das funções envolvidas para avaliar o limite substituindo x=0 na expressão simplificada:
\lim_{x\to 0}\frac{10\big(\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x+3}\big)}{x-1} = \frac{10\big(\sqrt{0^{2}+3}+\sqrt{0+3}\big)}{0-1}.
Calculando os radicais:
\sqrt{0^{2}+3}=\sqrt{3},\qquad \sqrt{0+3}=\sqrt{3},
então
\frac{10\big(\sqrt{3}+\sqrt{3}\big)}{-1}=\frac{10\cdot 2\sqrt{3}}{-1}=-20\sqrt{3}.

Passo 7

Pequena checagem intuitiva: -20\sqrt{3} é aproximadamente -34{,}64. Para x muito pequeno positivo, o denominador \sqrt{x^{2}+3}-\sqrt{x+3} é ligeiramente negativo e proporcional a x, e o numerador é positivo pequeno, portanto faz sentido o limite ser um número negativo grande em magnitude — consistente com -20\sqrt{3}. (Isto é apenas uma verificação informal.)

Resposta

-20\sqrt{3}

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