Determine os valores de x \in \mathbb{R} que satisfaçam
|x-2| \cdot|x+1|=3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x\in\mathbb{R} tais que
|x-2|\cdot|x+1|=3.
Este problema envolve propriedades de valor absoluto e resolução de equações quadráticas.

Passo 2

Usamos a propriedade |a|\cdot|b|=|a b|. Aqui a=x-2 e b=x+1, então
|x-2|\cdot|x+1| = |(x-2)(x+1)| = |x^2 - x - 2|.
A equação fica
|x^2 - x - 2| = 3.

Passo 3

A definição de valor absoluto nos leva a duas equações sem módulo:
x^2 - x - 2 = 3 \quad\text{ou}\quad x^2 - x - 2 = -3.

Passo 4

Resolvendo cada uma:
  1. Para x^2 - x - 2 = 3:
x^2 - x - 5 = 0,
o discriminante é \Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = 1 + 20 = 21, logo
x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}.
  1. Para x^2 - x - 2 = -3:
x^2 - x + 1 = 0,
o discriminante é \Delta = 1 - 4 = -3 < 0, sem raízes reais.
Portanto, os valores de x são os dois obtidos no primeiro caso.

Resposta

x = \frac{1+\sqrt{21}}{2}
x = \frac{1-\sqrt{21}}{2}

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