Determine os valores de x \in \mathbb{R} que satisfaçam
|x|+|x-1|>1

Passo 1

O enunciado pede para determinar os x\in\mathbb{R} que satisfazem
|x| + |x-1| > 1.
O conteúdo é manipulação de valores absolutos, que requer considerar as regiões definidas pelas mudanças de sinal em x e em x-1.

Passo 2

Para x<0:
|x|=-x e |x-1|=1-x, então
|x| + |x-1| = -x + (1-x) = 1 - 2x.
A desigualdade fica
1 - 2x > 1
-2x > 0
x < 0.
Concluímos que toda x<0 satisfaz a condição.

Passo 3

Para 0 \le x < 1:
|x|=x e |x-1|=1-x, logo
|x| + |x-1| = x + (1-x) = 1.
A desigualdade 1>1 é falsa, então não há soluções nessa faixa.

Passo 4

Para x \ge 1:
|x|=x e |x-1|=x-1, então
|x| + |x-1| = x + (x-1) = 2x - 1.
A desigualdade
2x - 1 > 1
2x > 2
x > 1
mostra que todas as x>1 satisfazem.

Passo 5

Unindo as soluções dos três casos, obtemos
(-\infty,0)\;\cup\;(1,\infty).

Resposta

(-\infty,0)\cup(1,\infty)

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