Determine a variação da pressão em relação ao volume para um gás ideal, quando todo o resto permanece constante. Calcule o valor numérico desta inclinação para um mol de gás com um volume de 22,4 \mathrm{~L}, a uma temperatura de 273 K . As unidades estão corretas?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a variação da pressão em relação ao volume para um gás ideal quando todo o resto permanece constante; (2) calcular numericamente essa inclinação para 1 mol de gás, com volume 22{,}4\\ \mathrm{L} e temperatura 273\\ \mathrm{K}; e ainda verificar se as unidades estão corretas.
Informações dadas e importantes: n=1 mol, V=22{,}4\\ \mathrm{L}, T=273\\ \mathrm{K}. Não foi fornecida outra informação, então usaremos a lei dos gases ideais padrão.

Passo 2

A equação fundamental que relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de gás é a lei dos gases ideais:
PV = nRT.
Aqui:
  • P é a pressão do gás (unidade SI: \mathrm{Pa});
  • V é o volume (unidade SI: \mathrm{m^{3}});
  • n é a quantidade de matéria (mol);
  • R é a constante universal dos gases;
  • T é a temperatura absoluta (unidade: \mathrm{K}).
    Explicação sobre R: em unidades SI \,R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}. Como 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}, também podemos ver R como 8{,}314\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}\,mol^{-1}K^{-1}}. Outra forma útil (quando usamos litros) é R=8{,}314\\ \mathrm{kPa\cdot L\,mol^{-1}K^{-1}} porque 1\\ \mathrm{kPa\cdot L}=1\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Isolamos P como função de V, mantendo n e T constantes:
P(V)=\frac{nRT}{V}.
Isto significa que, para processo isotérmico e com n fixo, a pressão decresce com o inverso do volume.

Passo 4

Agora queremos a variação da pressão em relação ao volume, ou seja a derivada \dfrac{dP}{dV} com n e T constantes. Diferenciando a expressão de P(V) em relação a V temos:
\frac{dP}{dV} = \frac{d}{dV}\!\left(\frac{nRT}{V}\right).
Como nRT é constante, usamos a regra da potência: \dfrac{d}{dV}(V^{-1})=-V^{-2}. Assim
\frac{dP}{dV} = -\frac{nRT}{V^{2}}.
Interpretação física: o sinal negativo indica que, mantendo T e n constantes, quando V aumenta, P diminui.

Passo 5

Vamos calcular numericamente. Primeira opção: usar unidades SI (Pa e m ^3). Convertendo o volume dado:
V = 22{,}4\\ \mathrm{L} = 22{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} = 0{,}0224\\ \mathrm{m^{3}}.
Usamos R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}=8{,}314\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}\,mol^{-1}K^{-1}}. Substituindo em \dfrac{dP}{dV}=-\dfrac{nRT}{V^{2}} com n=1:
\frac{dP}{dV} = -\frac{1\cdot 8{,}314\cdot 273}{(0{,}0224)^{2}}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-3}}.
Calculemos passo a passo:
\text{numerador} = 8{,}314\times 273 = 2269{,}722,
\text{denominador} = (0{,}0224)^{2} = 0{,}00050176.
Dividindo:
\frac{2269{,}722}{0{,}00050176}\approx 4{,}5235\times 10^{6}.
Portanto
\frac{dP}{dV}\approx -4{,}5235\times10^{6}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-3}}.

Passo 6

Segunda opção (mais direta numericamente): trabalhar em \mathrm{kPa} e \mathrm{L}. Como R=8{,}314\\ \mathrm{kPa\cdot L\,mol^{-1}K^{-1}} e V=22{,}4\\ \mathrm{L},
\frac{dP}{dV} = -\frac{1\cdot 8{,}314\cdot 273}{(22{,}4)^{2}}\\ \mathrm{kPa\cdot L^{-1}}.
Calculemos:
\text{numerador} = 8{,}314\times 273 = 2269{,}722, \qquad \text{denominador} = 22{,}4^{2}=501{,}76,
\frac{2269{,}722}{501{,}76}\approx 4{,}5235.
Logo
\frac{dP}{dV}\approx -4{,}5235\\ \mathrm{kPa\cdot L^{-1}}.
Para confirmar a equivalência de unidades note que 1\\ \mathrm{kPa\cdot L^{-1}} = 10^{6}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-3}}, portanto -4{,}5235\\ \mathrm{kPa\cdot L^{-1}} = -4{,}5235\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-3}}, em acordo com o cálculo em SI.

Passo 7

Sobre as unidades: a derivada \dfrac{dP}{dV} tem dimensões de pressão dividido por volume. Em SI isso é \mathrm{Pa\cdot m^{-3}} (ou \mathrm{N\cdot m^{-5}}). Se preferirmos usar \mathrm{kPa} e \mathrm{L}, a unidade natural é \mathrm{kPa\cdot L^{-1}}. Ambas representam corretamente a inclinação, desde que haja coerência no uso das unidades de R e V.

Resposta

\displaystyle \frac{dP}{dV} = -\frac{nRT}{V^{2}}
\displaystyle \frac{dP}{dV}\Big|_{n=1,\,V=22{,}4\mathrm{L},\,T=273\mathrm{K}} \approx -4{,}5235\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{-3}} (equivalente a -4{,}5235\\ \mathrm{kPa\cdot L^{-1}})
Sim. As unidades estão corretas desde que se utilize V e R de forma consistente (por exemplo SI: \mathrm{Pa\cdot m^{-3}}, ou alternativa \mathrm{kPa\cdot L^{-1}}).

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