Determine a variação de volume de uma esfera de alumínio com um raio inicial de Io cm quando a esfera é aquecida de
para
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Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma esfera de alumínio que está começando com um raio inicial de $ Io $ cm. A questão quer saber como o volume dessa esfera muda quando a gente a esquenta de $ 0,0^{\circ} \mathrm{C} $ para $ 100^{\circ} \mathrm{C} $. O assunto aqui é expansão térmica, mais especificamente a expansão volumétrica. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de volume da esfera e de como a temperatura afeta esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume inicial da esfera. A fórmula para o volume de uma esfera é:
Onde $ r $ é o raio da esfera. No nosso caso, o raio inicial é $ Io $ cm, então:
Passo 3
Agora, quando a esfera de alumínio é aquecida, ela se expande. A expansão volumétrica pode ser calculada usando o coeficiente de expansão volumétrica ($ \beta
\Delta V $) é dada por:
Onde $ \Delta T $ é a mudança de temperatura. Aqui, a temperatura aumentou de $ 0,0^{\circ} \mathrm{C} $ para $ 100^{\circ} \mathrm{C} $, então:
Passo 4
Substituindo o volume inicial que calculamos no Passo 2 e a variação de temperatura no Passo 3 na fórmula da variação de volume:
Então, a variação de volume depende do valor do coeficiente de expansão volumétrica do alumínio, que costuma ser conhecido ou fornecido no problema. Se não for dado, podemos deixar a resposta em termos de $ \beta $.
Passo 5
Se quisermos expressar a variação de volume apenas em função do raio inicial e da mudança de temperatura, sem especificar o coeficiente, podemos simplificar:
Isso mostra que o aumento no volume é proporcional ao cubo do raio inicial, ao coeficiente de expansão volumétrica e à mudança de temperatura.
Resposta
A variação de volume da esfera de alumínio ao ser aquecida de $ 0,0^{\circ} \mathrm{C} $ para $ 100^{\circ} \mathrm{C} $ é:
Onde $ \beta $ é o coeficiente de expansão volumétrica do alumínio.