Determine (
sendo
dado por:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde o campo vetorial é dado em coordenadas cilíndricas (polares no plano) por
Informações relevantes fornecidas:
- Componente radial:
. - Componente azimutal (angular):
. - Componente axial:
(não foi dada, logo é zero). - Não há dependência explícita de
nos componentes (ou seja, ).
O que se pede: calcular o rotacional (curl) do campo.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas. Para um campo
as componentes do rotacional são
Explicando o que cada símbolo quer dizer:
-
e são as coordenadas cilíndricas (raio e ângulo). -
são as componentes do campo nas direções . -
são derivadas parciais em relação às coordenadas.
Essa fórmula já leva em conta que os vetores unitáriosdependem de .
Passo 3
No nosso caso temos
e não há dependência de
(logo todas as derivadas em
são zero). Portanto as componentes radial e azimutal do rotacional serão nulas:
Resta apenas a componente axial (
), dada por
Passo 4
Agora substituo
e
e calculo passo a passo.
Primeiro calcule
:
Derivada de
em relação a
:
Agora a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Simplificando:
Como as outras componentes são zero, o rotacional completo é