Determine ( \vec{\nabla} \times \overrightarrow{\mathrm{H}}) sendo \overrightarrow{\mathrm{H}} dado por:
\vec{H}=2 r \cos \theta \vec{a}_{r}-3 r \operatorname{sen} \theta \vec{a}_{\theta}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \vec{\nabla}\times\vec{H} onde o campo vetorial é dado em coordenadas cilíndricas (polares no plano) por
\vec{H}=2\,r\cos\theta\,\vec{a}_{r}-3\,r\sin\theta\,\vec{a}_{\theta}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Componente radial: H_{r}=2\,r\cos\theta.
  • Componente azimutal (angular): H_{\theta}=-3\,r\sin\theta.
  • Componente axial: H_{z}=0 (não foi dada, logo é zero).
  • Não há dependência explícita de z nos componentes (ou seja, \partial/\partial z=0).
    O que se pede: calcular o rotacional (curl) do campo \vec{H}.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas. Para um campo
\vec{A}=A_{r}\,\vec{a}_{r}+A_{\theta}\,\vec{a}_{\theta}+A_{z}\,\vec{a}_{z},
as componentes do rotacional são
(\nabla\times\vec{A})_{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial A_{z}}{\partial \theta}-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial z},
(\nabla\times\vec{A})_{\theta}=\frac{\partial A_{r}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial r},
(\nabla\times\vec{A})_{z}=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\theta})-\frac{\partial A_{r}}{\partial \theta}\right).
Explicando o que cada símbolo quer dizer:
  • r e \theta são as coordenadas cilíndricas (raio e ângulo).
  • A_{r},A_{\theta},A_{z} são as componentes do campo nas direções \vec{a}_{r},\vec{a}_{\theta},\vec{a}_{z}.
  • \partial/\partial r,\partial/\partial\theta,\partial/\partial z são derivadas parciais em relação às coordenadas.
    Essa fórmula já leva em conta que os vetores unitários \vec{a}_r,\vec{a}_\theta dependem de \theta.

Passo 3

No nosso caso temos H_{z}=0 e não há dependência de z (logo todas as derivadas em z são zero). Portanto as componentes radial e azimutal do rotacional serão nulas:
(\nabla\times\vec{H})_{r}=0,\qquad (\nabla\times\vec{H})_{\theta}=0.
Resta apenas a componente axial ( z ), dada por
(\nabla\times\vec{H})_{z}=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rH_{\theta})-\frac{\partial H_{r}}{\partial \theta}\right).

Passo 4

Agora substituo H_{r} e H_{\theta} e calculo passo a passo.
Primeiro calcule rH_{\theta}:
rH_{\theta}=r\bigl(-3\,r\sin\theta\bigr)=-3\,r^{2}\sin\theta.
Derivada de rH_{\theta} em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}(rH_{\theta})=\frac{\partial}{\partial r}\bigl(-3\,r^{2}\sin\theta\bigr)=-3\cdot 2r\sin\theta=-6\,r\sin\theta.
Agora a derivada de H_{r} em relação a \theta:
\frac{\partial H_{r}}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(2\,r\cos\theta\bigr)=2\,r\cdot(-\sin\theta)=-2\,r\sin\theta.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão de (\nabla\times\vec{H})_{z}:
(\nabla\times\vec{H})_{z}=\frac{1}{r}\Bigl(-6\,r\sin\theta-(-2\,r\sin\theta)\Bigr) =\frac{1}{r}\bigl(-6\,r\sin\theta+2\,r\sin\theta\bigr).
Simplificando:
(\nabla\times\vec{H})_{z}=\frac{1}{r}\bigl(-4\,r\sin\theta\bigr)=-4\sin\theta.
Como as outras componentes são zero, o rotacional completo é
\vec{\nabla}\times\vec{H}=-4\sin\theta\,\vec{a}_{z}.

Resposta

\vec{\nabla}\times\vec{H}=-4\sin\theta\,\vec{a}_{z}

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