Determine a velocidade e aceleração do sistema subamortecido:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a velocidade e a aceleração de um sistema subamortecido. O que isso significa? Estamos lidando com um sistema oscilante que, por causa do amortecimento (representado por
), não oscila para sempre, mas sim diminui com o tempo. A função
nos dá a posição em função do tempo, e vamos precisar derivar essa função para encontrar a velocidade (
) e a aceleração (
).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar a expressão de
passo a passo.
Passo 3
A função dada é:
Vamos chamar a parte dentro das chaves de
para facilitar:
onde
.
Passo 4
Agora, temos
. Para derivar
, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então,
Passo 5
Vamos derivar cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada de
:
Segundo, a derivada de
:
Passo 6
Substituindo as derivadas na expressão de
:
Passo 7
Simplificando, podemos fatorar
:
Mas lembre-se que
, então podemos manter a expressão como está para facilitar.
Passo 8
Agora, vamos para a aceleração, que é a derivada da velocidade:
Isso implica que precisamos derivar
em relação ao tempo. Vamos novamente usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 9
Derivando
, teremos:
Passo 10
Vamos derivar cada termo:
Primeiro, a derivada de
:
Segundo, a derivada de $ -\zeta \omega_{n} e^{-\zeta \omega_{n} t} A(t) $:
Passo 11
Simplificando os termos, agrupando os fatores comuns
:
Isso fica um pouco complexo, mas essencialmente estamos aplicando as regras de derivação.
Passo 12
Finalmente, reunindo todos os termos e simplificando onde possível, obtemos as expressões para velocidade e aceleração:
Velocidade:
Aceleração:
Resposta
A velocidade do sistema é:
E a aceleração do sistema é: