Determine a velocidade e aceleração do sistema subamortecido:
x(t)=e^-zeta omegan tx0 cos (raiz1-zeta^2 omegan t)+dotxo+zeta omegan xoraiz1-zeta^2 omegan sen(raiz1-zeta^2 omegan t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a velocidade e a aceleração de um sistema subamortecido. O que isso significa? Estamos lidando com um sistema oscilante que, por causa do amortecimento (representado por zeta), não oscila para sempre, mas sim diminui com o tempo. A função x(t) nos dá a posição em função do tempo, e vamos precisar derivar essa função para encontrar a velocidade ( v(t)) e a aceleração ( a(t)).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dx(t)dt
Vamos derivar a expressão de x(t) passo a passo.

Passo 3

A função dada é:
x(t) = e^-zeta omegan t x0 cos ( raiz1 - zeta^2 omegan t ) + dotx0 + zeta omegan x0 raiz1 - zeta^2 omegan sin ( raiz1 - zeta^2 omegan t )
Vamos chamar a parte dentro das chaves de A(t) para facilitar:
A(t) = x0 cos ( omegad t ) + dotx0 + zeta omegan x0 omegad sin ( omegad t )
onde omegad = raiz1 - zeta^2 omegan.

Passo 4

Agora, temos x(t) = e^-zeta omegan t A(t). Para derivar x(t), vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u(t)v(t) é u'(t)v(t) + u(t)v'(t).
Então,
v(t) = dx(t)dt = e^-zeta omegan t dA(t)dt + A(t) ddt ( e^-zeta omegan t )

Passo 5

Vamos derivar cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada de A(t):
dA(t)dt = -x0 omegad sin(omegad t) + dotx0 + zeta omegan x0 omegad omegad cos(omegad t) = -x0 omegad sin(omegad t) + (dotx0 + zeta omegan x0) cos(omegad t)
Segundo, a derivada de e^-zeta omegan t:
ddt ( e^-zeta omegan t ) = -zeta omegan e^-zeta omegan t

Passo 6

Substituindo as derivadas na expressão de v(t):
v(t) = e^-zeta omegan t [ -x0 omegad sin(omegad t) + (dotx0 + zeta omegan x0) cos(omegad t) ] + A(t) ( -zeta omegan e^-zeta omegan t )

Passo 7

Simplificando, podemos fatorar e^-zeta omegan t:
v(t) = e^-zeta omegan t [ -x0 omegad sin(omegad t) + (dotx0 + zeta omegan x0) cos(omegad t) - zeta omegan A(t) ]
Mas lembre-se que A(t) = x(t) e^zeta omegan t, então podemos manter a expressão como está para facilitar.

Passo 8

Agora, vamos para a aceleração, que é a derivada da velocidade:
a(t) = dv(t)dt
Isso implica que precisamos derivar v(t) em relação ao tempo. Vamos novamente usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 9

Derivando v(t), teremos:
a(t) = ddt ( e^-zeta omegan t [ -x0 omegad sin(omegad t) + (dotx0 + zeta omegan x0) cos(omegad t) ] ) + ddt ( -zeta omegan e^-zeta omegan t A(t) )

Passo 10

Vamos derivar cada termo:
Primeiro, a derivada de e^-zeta omegan t [-x0 omegad sin(omegad t) + (dotx0 + zeta omegan x0) cos(omegad t)]:
e^-zeta omegan t [ -x0 omegad^2 cos(omegad t) - (dotx0 + zeta omegan x0) omegad sin(omegad t) ] + (-zeta omegan) e^-zeta omegan t [ -x0 omegad sin(omegad t) + (dotx0 + zeta omegan x0) cos(omegad t) ]
Segundo, a derivada de $ -\zeta \omega_{n} e^{-\zeta \omega_{n} t} A(t) $:
-zeta omegan e^-zeta omegan t A(t)

Passo 11

Simplificando os termos, agrupando os fatores comuns e^-zeta omegan t:
a(t) = e^-zeta omegan t [ -x0 omegad^2 cos(omegad t) - (dotx0 + zeta omegan x0) omegad sin(omegad t) ] + (-zeta omegan) e^-zeta omegan t [ -x0 omegad sin(omegad t) + (dotx0 + zeta omegan x0) cos(omegad t) ] + zeta^2 omegan^2 e^-zeta omegan t A(t) - zeta omegan e^-zeta omegan t dA(t)dt
Isso fica um pouco complexo, mas essencialmente estamos aplicando as regras de derivação.

Passo 12

Finalmente, reunindo todos os termos e simplificando onde possível, obtemos as expressões para velocidade e aceleração:
Velocidade:
v(t) = e^-zeta omegan t [ -x0 omegad sin(omegad t) + (dotx0 + zeta omegan x0) cos(omegad t) ]
Aceleração:
a(t) = e^-zeta omegan t [ -x0 omegad^2 cos(omegad t) - (dotx0 + zeta omegan x0) omegad sin(omegad t) ] + (-zeta omegan) v(t)

Resposta

A velocidade do sistema é:
v(t) = e^-zeta omegan t [ -x0 omegad sin(omegad t) + (dotx0 + zeta omegan x0) cos(omegad t) ]
E a aceleração do sistema é:
a(t) = e^-zeta omegan t [ -x0 omegad^2 cos(omegad t) - (dotx0 + zeta omegan x0) omegad sin(omegad t) ] + (-zeta omegan) v(t)

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