Determine se é Verdadeiro (provando a afirmativa) ou Falso (dando contraexemplo):
( ) Se f é descontínua em a, então \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Afirmativa dada (copiada fielmente):
\text{Se \(f\) é descontínua em \(a\), então }\lim_{x\to a^-} f(x)\neq \lim_{x\to a^+} f(x).éíã
O que devemos apresentar:
  • Se for verdadeira: provar a implicação para qualquer função f e ponto a.
  • Se for falsa: fornecer um contraexemplo (uma função f e ponto a) que seja descontínua em a mas tal que \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
  • A definição de limite lateral ( \lim_{x\to a^-} e \lim_{x\to a^+}).
  • A definição de continuidade em a: contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a) (isto envolve as duas limites laterais e/ou o limite total).

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo, sem pular etapas).
  1. Limite lateral esquerdo. Dizemos que \lim_{x\to a^-} f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que a-\delta<x<a, vale |f(x)-L|<\varepsilon. Em palavras: quando x se aproxima de a vindo da esquerda, f(x) fica arbitrariamente próximo de L.
  2. Limite lateral direito. Dizemos que \lim_{x\to a^+} f(x)=M se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que a<x<a+\delta, vale |f(x)-M|<\varepsilon. Em palavras: quando x se aproxima de a vindo da direita, f(x) fica arbitrariamente próximo de M.
  3. Limite (total). O limite \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a L se e somente se as duas limites laterais existem e são iguais: \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L.
  4. Continuidade em a. A função f é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a). Ou seja, é preciso que as duas limites laterais existam, sejam iguais entre si, e que esse valor comum coincida com f(a).
Observação intuitiva: existe um tipo de descontinuidade chamada “descontinuidade removível”: ocorre quando as duas limites laterais existem e são iguais (logo o limite existe), mas o valor f(a) é diferente desse limite (ou f(a) nem está definido). Nessa situação f é descontínua em a, embora as duas limites laterais sejam iguais.

Passo 3

Estratégia para decidir o enunciado: como já existe uma noção clara de descontinuidade removível, uma maneira direta de refutar a afirmação é apresentar explicitamente uma função com descontinuidade removível — isto é, uma função descontínua em [a) mas cujas duas limites laterais existem e são iguais. Vou construir um contraexemplo simples e bem conhecido.
Defina a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
f(x)=\begin{cases} 0, & \text{se } x\neq 0,\\[4pt] 1, & \text{se } x=0. \end{cases}
Escolho a=0\]. Agora vou verificar as duas propriedades que preciso: (i) \(\lim_{x\to 0^-} f(x) e \lim_{x\to 0^+} f(x) existem e são iguais; (ii) f é descontínua em 0.]

Passo 4

Verificação de que as duas limites laterais existem e são iguais.
Observação direta: para todo x\neq 0 tem-se f(x)=0. Isso significa que em qualquer intervalo puncturado em torno de 0 (isto é, qualquer conjunto do tipo \{x:0<|x|<\delta\}) todos os valores de f(x) são exatamente 0.
Prova formal (epsilon–delta) de que \lim_{x\to 0} f(x)=0, o que implica as duas limites laterais iguais a 0.
Seja arbitrário \varepsilon>0. Escolha qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1). Então, se 0<|x-0|<\delta, temos x\neq 0 e, portanto, f(x)=0. Logo
|f(x)-0|=|0-0|=0<\varepsilon.
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 (qualquer \delta>0 serve) tal que 0<|x|<\delta \Rightarrow |f(x)-0|<\varepsilon. Portanto
\lim_{x\to 0} f(x)=0.
Consequentemente
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^+} f(x)=0,
ou seja, as duas limites laterais existem e são iguais.

Passo 5

Verificação de que f é descontínua em 0.
Pela definição de f temos f(0)=1, enquanto que o limite (total) que acabamos de calcular é 0. Como \lim_{x\to 0} f(x)=0\neq 1=f(0), segue que f não é contínua em 0. Em palavras: há uma descontinuidade no ponto 0, do tipo removível — o valor da função em 0 foi “colocado” diferente do limite que as proximidades sugerem.
Resumo do que encontramos sem repetir a resposta final: a função construída é descontínua em a=0 e, ao mesmo tempo, \lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x)=0. Isso fornece um contraexemplo direto à afirmativa do enunciado.

Passo 6

Comentário didático e conclusão prática (sem repetir a resposta final): o contraexemplo acima é a típica descontinuidade removível — as duas uma-laterais existem e coincidem, mas f(a) tem valor diferente. Portanto, a afirmação “se f é descontínua em a então as duas limites laterais são diferentes” não é verdadeira em geral. Para garantir que as duas limites laterais sejam diferentes quando há descontinuidade, seria necessário acrescentar hipóteses adicionais (por exemplo, exigir que a descontinuidade seja do tipo salto, mas isso já é uma caracterização extra que o enunciado não deu).
Força aí nos estudos — descontinuidades vêm em vários sabores: removível (a gente pode “consertar” mudando f(a)), salto (limites laterais existem mas são distintos) e oscilatória (limites não existem). Saber reconhecer cada tipo ajuda muito em provas.

Resposta

Falso

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