Determine se é Verdadeiro (provando a afirmativa) ou Falso (dando contraexemplo):
( ) Se f é descontínua em a, então
( ) Se f é descontínua em a, então
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Afirmativa dada (copiada fielmente):
O que devemos apresentar:
- Se for verdadeira: provar a implicação para qualquer função
e ponto . - Se for falsa: fornecer um contraexemplo (uma função
e ponto ) que seja descontínua em mas tal que .
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
- A definição de limite lateral (
e ). - A definição de continuidade em
: contínua em se (isto envolve as duas limites laterais e/ou o limite total).
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo, sem pular etapas).
-
Limite lateral esquerdo. Dizemos que
se, para todo , existe tal que, sempre que , vale . Em palavras: quando se aproxima de vindo da esquerda, fica arbitrariamente próximo de . -
Limite lateral direito. Dizemos que
se, para todo , existe tal que, sempre que , vale . Em palavras: quando se aproxima de vindo da direita, fica arbitrariamente próximo de . -
Limite (total). O limite
existe e é igual a se e somente se as duas limites laterais existem e são iguais: . -
Continuidade em
. A função é contínua em se existe e é igual a . Ou seja, é preciso que as duas limites laterais existam, sejam iguais entre si, e que esse valor comum coincida com .
Observação intuitiva: existe um tipo de descontinuidade chamada “descontinuidade removível”: ocorre quando as duas limites laterais existem e são iguais (logo o limite existe), mas o valor
é diferente desse limite (ou
nem está definido). Nessa situação
é descontínua em
, embora as duas limites laterais sejam iguais.
Passo 3
Estratégia para decidir o enunciado: como já existe uma noção clara de descontinuidade removível, uma maneira direta de refutar a afirmação é apresentar explicitamente uma função com descontinuidade removível — isto é, uma função descontínua em [a) mas cujas duas limites laterais existem e são iguais. Vou construir um contraexemplo simples e bem conhecido.
Defina a função
por
Escolho
e
existem e são iguais; (ii)
é descontínua em
.]
Passo 4
Verificação de que as duas limites laterais existem e são iguais.
Observação direta: para todo
tem-se
. Isso significa que em qualquer intervalo puncturado em torno de
(isto é, qualquer conjunto do tipo
) todos os valores de
são exatamente
.
Prova formal (epsilon–delta) de que
, o que implica as duas limites laterais iguais a
.
Seja arbitrário
. Escolha qualquer
(por exemplo
). Então, se
, temos
e, portanto,
. Logo
Isso mostra que, para todo
, existe
(qualquer
serve) tal que
. Portanto
Consequentemente
ou seja, as duas limites laterais existem e são iguais.
Passo 5
Verificação de que
é descontínua em
.
Pela definição de
temos
, enquanto que o limite (total) que acabamos de calcular é
. Como
, segue que
não é contínua em
. Em palavras: há uma descontinuidade no ponto
, do tipo removível — o valor da função em
foi “colocado” diferente do limite que as proximidades sugerem.
Resumo do que encontramos sem repetir a resposta final: a função construída é descontínua em
e, ao mesmo tempo,
. Isso fornece um contraexemplo direto à afirmativa do enunciado.
Passo 6
Comentário didático e conclusão prática (sem repetir a resposta final): o contraexemplo acima é a típica descontinuidade removível — as duas uma-laterais existem e coincidem, mas
tem valor diferente. Portanto, a afirmação “se
é descontínua em
então as duas limites laterais são diferentes” não é verdadeira em geral. Para garantir que as duas limites laterais sejam diferentes quando há descontinuidade, seria necessário acrescentar hipóteses adicionais (por exemplo, exigir que a descontinuidade seja do tipo salto, mas isso já é uma caracterização extra que o enunciado não deu).
Força aí nos estudos — descontinuidades vêm em vários sabores: removível (a gente pode “consertar” mudando
), salto (limites laterais existem mas são distintos) e oscilatória (limites não existem). Saber reconhecer cada tipo ajuda muito em provas.
Resposta
Falso