Calcule as derivadas a seguir
D_{x}\left[x^{3}-2 x^{2}\left(3 x+2 x^{3}+1\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a x da expressão
x^{3}-2 x^{2}\left(3 x+2 x^{3}+1\right).
Ou seja, devemos calcular
D_{x}\!\left[x^{3}-2 x^{2}\left(3 x+2 x^{3}+1\right)\right].
Informações relevantes dadas: a expressão é uma combinação de potências de x e um produto entre 2x^{2} e o polinômio \left(3x+2x^{3}+1\right). O objetivo é obter a derivada dessa função em forma algébrica.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão abrindo o produto usando a propriedade distributiva. Vamos multiplicar 2x^{2} por cada termo dentro dos parênteses:
2x^{2}\cdot(3x)=6x^{3},
2x^{2}\cdot(2x^{3})=4x^{5},
2x^{2}\cdot 1=2x^{2}.

Passo 3

Substituindo essas multiplicações na expressão original temos
x^{3}-\bigl(6x^{3}+4x^{5}+2x^{2}\bigr).
Agora distribuímos o sinal de menos:
x^{3}-6x^{3}-4x^{5}-2x^{2}.

Passo 4

Combinar termos semelhantes (mesmos expoentes). x^{3}-6x^{3}=-5x^{3}. Assim a função fica
-4x^{5}-5x^{3}-2x^{2}.

Passo 5

Agora a parte das derivadas. Relembrando as regras que vamos usar:
  • Regra do poder: para todo n\in\mathbb{R},
D_{x}\!\left[x^{n}\right]=n x^{n-1},
ou seja, baixa-se o expoente como coeficiente e diminui-se o expoente em 1.
  • Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes podem ser factorizadas:
D_{x}\!\left[a\cdot f(x)\right]=a\cdot D_{x}\!\left[f(x)\right], \qquad D_{x}\!\left[f(x)+g(x)\right]=D_{x}\!\left[f(x)\right]+D_{x}\!\left[g(x)\right].
Vou aplicar essas regras termo a termo sobre
-4x^{5}-5x^{3}-2x^{2}.

Passo 6

Derivando cada termo:
D_{x}\!\left[-4x^{5}\right]=-4\cdot D_{x}\!\left[x^{5}\right]=-4\cdot(5x^{4})=-20x^{4},
D_{x}\!\left[-5x^{3}\right]=-5\cdot D_{x}\!\left[x^{3}\right]=-5\cdot(3x^{2})=-15x^{2},
D_{x}\!\left[-2x^{2}\right]=-2\cdot D_{x}\!\left[x^{2}\right]=-2\cdot(2x)=-4x.

Passo 7

Somando as derivadas parciais obtemos a derivada final:
-20x^{4}-15x^{2}-4x.
Se quiser, pode-se fatorar um -x em evidência:
-x\left(20x^{3}+15x+4\right),
mas a forma expandida também é perfeitamente válida.

Resposta

-20x^{4}-15x^{2}-4x

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