Determine o vértice, o eixo e a direção de abertura da parábola dada.
(d) x^{2}-x+3 y+1=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}-x+3y+1=0
Trata-se de uma parábola no plano xy. Para encontrar vértice, eixo e direção de abertura, vamos reescrever em forma de vértice completando o quadrado.

Passo 2

Isolando y na equação original, temos
3y=-x^{2}+x-1
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y=-\tfrac{1}{3}x^{2}+\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Para completar o quadrado, fatoramos -\tfrac{1}{3}:
y=-\tfrac{1}{3}\bigl(x^{2}-x\bigr)-\tfrac{1}{3}.
Como
x^{2}-x=(x-\tfrac12)^{2}-\tfrac14,
segue
y=-\tfrac{1}{3}\bigl((x-\tfrac12)^{2}-\tfrac14\bigr)-\tfrac{1}{3} =-\tfrac{1}{3}(x-\tfrac12)^{2}+\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{3} =-\tfrac{1}{3}(x-\tfrac12)^{2}-\tfrac{1}{4}.
Isso mostra que a parábola está na forma
y=a(x-h)^{2}+k
com h=\tfrac12 e k=-\tfrac14. Portanto o vértice é
\bigl(\tfrac12,\,-\tfrac14\bigr)
e o eixo de simetria é
x=\tfrac12.

Passo 4

O coeficiente principal é a=-\tfrac{1}{3}. Como a<0, a parábola abre para baixo.

Resposta

Vértice: \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac14\bigr)
Eixo de simetria: x=\tfrac12
Direção de abertura: para baixo

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