Determine o vértice, o eixo e a direção de abertura da parábola dada.
(f) y^{2}-10 y-3 x+24=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o vértice, o eixo e a direção de abertura da parábola dada pela equação
y^{2}-10y-3x+24=0.
O método é completar o quadrado em y para escrever a equação no formato padrão de uma parábola que abre horizontalmente.

Passo 2

Isolamos os termos em y e passamos o resto para o outro lado:
y^{2}-10y = 3x - 24.

Passo 3

Agora completamos o quadrado em y. Como -10y corresponde a 2\cdot y\cdot(-5), adicionamos e subtraímos 25:
y^{2}-10y+25 = 3x - 24 +25
ou seja,
(y-5)^{2} = 3x +1.
Despejando x, vem
x = \frac{1}{3}(y-5)^{2} - \frac{1}{3}.

Passo 4

A forma-padrão de uma parábola com eixo horizontal é
x - h = \frac{1}{4p}\,(y - k)^{2},
onde (h,k) é o vértice e p indica a distância focal. Aqui temos
x - \Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) = \frac{1}{3}\,(y - 5)^{2}.
Assim, equacionando \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{3}, obtemos p=\tfrac{3}{4}, e o vértice é
(h,k) = \Bigl(-\tfrac{1}{3},\,5\Bigr).

Passo 5

Como o quadrado está em y, o eixo de simetria é paralelo ao eixo x, isto é, a reta
y = k = 5.
E como p>0, a parábola abre na direção positiva de x, ou seja, para a direita.

Resposta

vértice: \bigl(-\tfrac{1}{3},\,5\bigr)
eixo: y=5
abertura: para a direita

Exercícios relacionados