Determine o vértice da função quadrática y = 8x2 – 3x – 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática dada por $ y = 8x^2 - 3x - 5 $. Nosso objetivo aqui é encontrar o vértice dessa parábola. Para isso, vamos usar os conceitos de funções quadráticas e a fórmula que determina o vértice. Não precisa se preocupar, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral $ y = ax^2 + bx + c $. Nesse caso, identificamos:
  • $ a = 8 $
  • $ b = -3 $
  • $ c = -5 $
O vértice de uma parábola é o ponto mais alto ou mais baixo dela, dependendo do coeficiente $ a $. Para encontrar as coordenadas desse ponto, usamos a fórmula:
y = ax^2 + bx + c
e
a = 8
Ou seja, primeiro encontramos a coordenada $ x $ do vértice e depois substituímos esse valor na função para achar o $ y $.

Passo 3

Vamos calcular a coordenada $ x_v $ do vértice usando a fórmula que mencionamos:
xv
Então, $ x_v = \frac{3}{16} $.
Agora, vamos encontrar o $ y_v $ substituindo $ x_v $ na função original:
xv = -b2a = --32 times 8 = 316

Passo 4

Vamos resolver passo a passo essa substituição:
  1. Primeiro, calculamos $ \left(\frac{3}{16}\right)^2 $:
(316)^2
  1. Multiplicamos por 8:
(316)^2 = 9256
  1. Calculamos $ 3 \times \frac{3}{16} $:
8 times 9256 = 72256 = 932
  1. Agora, colocamos tudo junto na expressão do $ y_v $:
3 times 316
  1. Para facilitar, vamos converter tudo para frações com denominador 32:
3 times 316 = 916

Resposta

Portanto, o vértice da função quadrática $ y = 8x^2 - 3x - 5 $ é o ponto $ \left( \frac{3}{16}, , -\frac{169}{32} \right) $.

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