Determine o vetor gradiente dos seguintes campos escalares.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o vetor gradiente do campo escalar dado. As informações fornecidas são:
- A função escalar é
. - Queremos o vetor gradiente associado a
, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos entender o que é o gradiente e como calcular cada componente. O gradiente de uma função escalar de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada direção. Em fórmula:
Aqui cada derivada parcial significa: diferenciar
em relação a uma variável mantendo as outras duas fixas (constantes). Essa operação mede a variação de
quando só mudamos uma das coordenadas.
Passo 3
Vamos calcular
. Trate
e
como constantes e diferencie termo a termo:
- A derivada de
em relação a é (porque é constante). - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (não depende de ).
Portanto
Passo 4
Agora calcule
. Trate
e
como constantes:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Logo
Passo 5
Finalmente calcule
. Trate
e
como constantes:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Assim
Passo 6
Juntando as três derivadas parciais obtemos o vetor gradiente. Escrevendo de forma clara:
Interpretação rápida: em qualquer ponto
esse vetor aponta na direção de maior crescimento de
e suas componentes mostram quanto
aumenta se eu variar apenas
, apenas
ou apenas
.