Determine o vetor gradiente dos seguintes campos escalares.
f(x, y, z)=x y+x z+y z.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor gradiente do campo escalar dado. As informações fornecidas são:
  • A função escalar é f(x,y,z)=x y+x z+y z.
  • Queremos o vetor gradiente associado a f, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos entender o que é o gradiente e como calcular cada componente. O gradiente de uma função escalar de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em cada direção. Em fórmula:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui cada derivada parcial significa: diferenciar f em relação a uma variável mantendo as outras duas fixas (constantes). Essa operação mede a variação de f quando só mudamos uma das coordenadas.

Passo 3

Vamos calcular \frac{\partial f}{\partial x}. Trate y e z como constantes e diferencie termo a termo:
  • A derivada de x y em relação a x é y (porque y é constante).
  • A derivada de x z em relação a x é z.
  • A derivada de y z em relação a x é 0 (não depende de x).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=y+z.

Passo 4

Agora calcule \frac{\partial f}{\partial y}. Trate x e z como constantes:
  • A derivada de x y em relação a y é x.
  • A derivada de y z em relação a y é z.
  • A derivada de x z em relação a y é 0.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=x+z.

Passo 5

Finalmente calcule \frac{\partial f}{\partial z}. Trate x e y como constantes:
  • A derivada de x z em relação a z é x.
  • A derivada de y z em relação a z é y.
  • A derivada de x y em relação a z é 0.
Assim
\frac{\partial f}{\partial z}=x+y.

Passo 6

Juntando as três derivadas parciais obtemos o vetor gradiente. Escrevendo de forma clara:
\nabla f(x,y,z)=\big(y+z,\;x+z,\;x+y\big).
Interpretação rápida: em qualquer ponto (x,y,z) esse vetor aponta na direção de maior crescimento de f e suas componentes mostram quanto f aumenta se eu variar apenas x, apenas y ou apenas z.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=(y+z,\;x+z,\;x+y)

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