Resolva os sistemas de EDO obtendo a solução geral:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO linear com coeficientes constantes
X' = \begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} X.
As informações dadas são:
A=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}, \qquad X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt] x_2(t)\end{pmatrix},
e a tarefa é encontrar a família de todas as soluções X(t) (solução geral). Vou proceder passo a passo usando decomposição por autovalores e autovetores (e, se aparecerem autovalores complexos, transformar em soluções reais usando partes real e imaginária).]

Passo 2

Primeiro calculamos os autovalores de A. Eles são as raízes do polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.
Calculemos \det(A-\lambda I):
\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(1-\lambda)-(-2)(2).
Agora desenvolvendo:
(3-\lambda)(1-\lambda)+4 =3-3\lambda-\lambda+\lambda^2+4 =\lambda^2-4\lambda+7.]

Passo 3

Resolvemos o polinômio \lambda^2-4\lambda+7=0 pela fórmula quadrática. A discriminante é
\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot7=16-28=-12.
Portanto as raízes são complexas:
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{-12}}{2}=2\pm i\sqrt{3}.
Chamemos \lambda_1=2+i\sqrt{3} e \lambda_2=2-i\sqrt{3}. Aqui \operatorname{Re}(\lambda)=2 e \operatorname{Im}(\lambda)=\pm\sqrt{3}.

Passo 4

Vamos achar um autovetor complexo associado a \lambda_1=2+i\sqrt{3}. Resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}3-(2+i\sqrt{3}) & -2\\[4pt] 2 & 1-(2+i\sqrt{3})\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Simplificando os coeficientes:
\begin{pmatrix}1-i\sqrt{3} & -2\\[4pt] 2 & -1-i\sqrt{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira equação (1-i\sqrt{3})v_1-2v_2=0, obtemos
v_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,v_1.
Escolhemos v_1=1 (pode-se escalar o autovetor) e temos
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Decompondo o autovetor complexo em parte real e imaginária: escrevamos
v=p+i q.
Calculando explicitamente v_2:
\frac{1-i\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2},
logo
p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Explico a regra prática: se \lambda=\alpha+i\beta é um autovalor e v=p+iq o autovetor (com p,q reais), então duas soluções reais fundamentais do sistema são as partes real e imaginária de e^{\lambda t}v, ou seja
u_1(t)=e^{\alpha t}\big(p\cos(\beta t)-q\sin(\beta t)\big), \qquad u_2(t)=e^{\alpha t}\big(p\sin(\beta t)+q\cos(\beta t)\big).
No nosso caso \alpha=2 e \beta=\sqrt{3}. Usando p e q calculados:
calculamos componente a componente.
Para a primeira componente (mais simples), como p_1=1 e q_1=0,
(u_1)_1(t)=e^{2t}\cos(\sqrt{3}t), \qquad (u_2)_1(t)=e^{2t}\sin(\sqrt{3}t).
Para a segunda componente usamos p_2=\tfrac{1}{2} e q_2=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
(u_1)_2(t)=e^{2t}\Big(\tfrac{1}{2}\cos(\sqrt{3}t)-\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\sin(\sqrt{3}t)\Big) =e^{2t}\Big(\tfrac{1}{2}\cos(\sqrt{3}t)+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(\sqrt{3}t)\Big),
(u_2)_2(t)=e^{2t}\Big(\tfrac{1}{2}\sin(\sqrt{3}t)+\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\cos(\sqrt{3}t)\Big) =e^{2t}\Big(\tfrac{1}{2}\sin(\sqrt{3}t)-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(\sqrt{3}t)\Big).
Essas duas soluções u_1(t) e u_2(t) formam um sistema fundamental real e, portanto, a solução geral é combinação linear delas com constantes reais.

Passo 7

Escrevendo a solução geral como combinação linear com constantes reais C_1,C_2, obtemos a forma final (vou colocar na seção de resposta apenas a solução final formatada).

Resposta

X(t)=e^{2t}\left[ C_{1}\begin{pmatrix} \cos(\sqrt{3}t)\\[6pt] \tfrac{1}{2}\cos(\sqrt{3}t)+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(\sqrt{3}t) \end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix} \sin(\sqrt{3}t)\\[6pt] \tfrac{1}{2}\sin(\sqrt{3}t)-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(\sqrt{3}t) \end{pmatrix} \right],
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.]

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