Determine se o vetor \mathbf{v} é uma combinação linear dos demais vetores.
  1. \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2\end{array}\right], \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1\end{array}\right], \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \mathbf{v} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} pode ser escrito como combinação linear dos vetores \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} e \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}. Em outras palavras, queremos ver se existem escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,\mathbf{u}_1 + \beta\,\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}.
Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver o sistema linear 2\times 2 que surge das componentes.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos
\alpha\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},
que equivale ao sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 1,\\\\ -\,\alpha - \beta = 2. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo por substituição, da primeira equação vem
\alpha = 1 - 2\beta.
Substituindo na segunda:
- (1 - 2\beta) - \beta = 2 \quad\Longrightarrow\quad -1 + 2\beta - \beta = 2 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 3.
Então
\alpha = 1 - 2\cdot 3 = -5.

Passo 4

Para conferir, calculamos
-5\,\mathbf{u}_1 + 3\,\mathbf{u}_2 = -5\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5+6\\\ 5-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} = \mathbf{v}.
Isso mostra que \mathbf{v} realmente é combinação linear de \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2.

Resposta

Sim. \displaystyle \mathbf{v} = -5\,\mathbf{u}_1 + 3\,\mathbf{u}_2.

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