Determine se o vetor \mathbf{v} é uma combinação linear dos demais vetores.
2. \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1\end{array}\right], \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{r}4 \\\\ -2\end{array}\right], \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe escalares a e b tais que
a\,\mathbf{u}_1 + b\,\mathbf{u}_2 = \mathbf{v},
onde
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_1=\begin{pmatrix}4\\\ -2\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_2=\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores em \mathbb{R}^2 e resolução de sistema linear 2\times 2.

Passo 2

Para achar a e b montamos o sistema obtido componente a componente:
\begin{cases} 4a - 2b = 2,\\\\ -2a + 1b = 1. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação isolamos b:
b = 1 + 2a.
Substituindo na primeira:
4a - 2(1 + 2a) = 2 \quad\Longrightarrow\quad 4a - 2 - 4a = 2 \quad\Longrightarrow\quad -2 = 2,
o que é uma contradição. Portanto não há solução para (a,b).

Resposta

Não. \mathbf{v} não é combinação linear de \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2.

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