Determine se o vetor \mathbf{v} é uma combinação linear dos demais vetores.
3. \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right], \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \mathbf{v}=(1,2,3) pode ser escrito como combinação linear dos vetores \mathbf{u}_{1}=(1,1,0) e \mathbf{u}_{2}=(0,1,1). O conteúdo aqui é testar pertencimento de \mathbf{v} ao espaço gerado por \{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\}, resolvendo um sistema para encontrar escalares a e b.

Passo 2

Supondo que exista a,b\in\mathbb{R} tais que
a\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} \;+\; b\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},
isso gera o sistema de equações coordenada a coordenada.

Passo 3

As equações coordenadas são \;a = 1, \;a + b = 2, \;b = 3. Da primeira vem a=1. Substituindo na segunda obtemos 1 + b = 2, logo b=1. Mas a terceira exige b=3. Há contradição entre b=1 e b=3.

Resposta

O vetor \mathbf{v} não é combinação linear de \mathbf{u}_{1} e \mathbf{u}_{2}.

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