Determine se o vetor \mathbf{b} pertence ao conjunto gerado pelas colunas da matriz A.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\\\ 5 & 6 & 7 \\\\ 9 & 10 & 11\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}4 \\\\ 8 \\\\ 12\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\\ 8\\\ 12\end{pmatrix}
pertence ao espaço coluna da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 5 & 6 & 7 \\\\ 9 & 10 & 11\end{pmatrix}.
Conteúdo da matéria: espaço coluna e compatibilidade de sistemas lineares. Vamos montar o sistema A\mathbf{x} = \mathbf{b} e verificar se ele é compatível (tem solução).

Passo 2

O sistema \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\, é
\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 4,\\\\ 5x_{1} + 6x_{2} + 7x_{3} = 8,\\\\ 9x_{1} + 10x_{2} + 11x_{3} = 12. \end{cases}
Para estudar compatibilidade, aplicamos eliminação de Gauss.

Passo 3

Subtraindo 5\) vezes a primeira equação da segunda e \(9\) vezes da terceira, obtemos \[\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 4,\\\\ -4x_{2} - 8x_{3} = -12,\\\\ -8x_{2} -16x_{3} = -24. \end{cases}
Dividindo a segunda por -4\] e a terceira por \(-8, ambas viram
x_{2} + 2x_{3} = 3.
Portanto o sistema reduz-se a
\begin{cases} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 4,\\\ x_{2} + 2x_{3} = 3. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem
x_{2} = 3 - 2x_{3}.
Substituindo em x_{1} = 4 - 2x_{2} - 3x_{3}, obtemos
x_{1} = 4 - 2(3 - 2x_{3}) - 3x_{3} = -2 + x_{3}.
Há, portanto, infinitas soluções (parâmetro x_{3}), o que mostra que o sistema é compatível.

Passo 5

Como A\mathbf{x}=\mathbf{b} admite solução, concluímos que \mathbf{b} está no espaço coluna de A.

Resposta

Sim, \mathbf{b} pertence ao espaço gerado pelas colunas de A.

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