Mostre que \mathbb{R}^{3}=\operatorname{ger}\left(\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right]\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\mathbb{R}^3 = \operatorname{ger}\bigl(v_1,v_2,v_3\bigr)
onde
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
O conteúdo principal aqui é entender que um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 gera todo o espaço se, e somente se, eles forem linearmente independentes (i.e.\ formarem uma base). Para testar independência basta calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz A colocando v_1,v_2,v_3 como colunas:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq 0, então \{v_1,v_2,v_3\} é um conjunto linearmente independente em \mathbb{R}^3 e, como há três vetores, ele é base de \mathbb{R}^3. Logo, gera todo o espaço.

Passo 3

Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\bigl(2\cdot(-1)-1\cdot3\bigr) -1\cdot\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot0\bigr) +2\cdot\bigl(1\cdot3-2\cdot0\bigr).

Passo 4

Simplificando cada termo:
1\cdot(-2-3)\;=\;-5, \quad -1\cdot(-1-0)\;=\;+1, \quad 2\cdot3\;=\;6.
Somando,
\det(A) = -5 + 1 + 6 = 2 \neq 0.

Passo 5

Como \det(A)\neq 0, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e formam base de \mathbb{R}^3. Portanto
\mathbb{R}^3 = \operatorname{ger}(v_1,v_2,v_3).

Resposta

Como \det(A)=2\neq0, concluímos que
\mathbb{R}^{3}=\operatorname{ger}\Bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}\Bigr).

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