Determine o vetor
que satisfaz
Para
Para
Passo 1
O enunciado pede um vetor
tal que
para
.
Informações dadas:
- Matriz da transformação:
- Valor do autovalor (eigenvalue):
- Quer-se encontrar todos os vetores
não-nulos que satisfazem a equação acima.]
Passo 2
Definição e equação a resolver: um vetor
é autovetor associado a
se
Isto é equivalente ao sistema homogêneo
onde
é a matriz identidade
. Vou aplicar isso com
.]
Passo 3
Calcular
para
. Como
, temos
. Então
Passo 4
Escrever o sistema linear correspondente:
que equivale ao par de equações
Passo 5
Resolver o sistema. Da segunda equação obtemos diretamente
Substituindo na primeira equação dá
que é satisfeita para qualquer
. As duas equações são dependentes, então há infinitas soluções (direção única de autovetores).
Passo 6
Parâmetrizar a solução: tome
com
. Então
ou seja
Como autovetor deve ser não-nulo, exige-se
. Portanto todos os autovetores associados a
são os múltiplos escalares não-nulos de
.]
Passo 7
Verificação rápida (checagem): multiplicando a matriz por
,
confirmando que
é de fato um autovetor associado a
.]