Determine o vetor (x, y) que satisfaz T\binom{x}{y}=\left(\begin{array}{cc}2 & -12 \\\\ 1 & -5\end{array}\right)\binom{x}{y}=\lambda\binom{x}{y}
Para \lambda=-1

Passo 1

O enunciado pede um vetor (x,y) tal que
T\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -12\\[4pt]1 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}
para \lambda=-1.
Informações dadas:
  • Matriz da transformação: \displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & -12\\[4pt]1 & -5\end{pmatrix}.
  • Valor do autovalor (eigenvalue): \displaystyle \lambda=-1.
  • Quer-se encontrar todos os vetores (x,y) não-nulos que satisfazem a equação acima.]

Passo 2

Definição e equação a resolver: um vetor \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} é autovetor associado a \lambda se
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Isto é equivalente ao sistema homogêneo
\bigl(A-\lambda I\bigr)\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},
onde I é a matriz identidade 2\times2. Vou aplicar isso com \lambda=-1.]

Passo 3

Calcular A-\lambda I para \lambda=-1. Como \lambda=-1, temos A-\lambda I=A-(-1)I=A+I. Então
A+I=\begin{pmatrix}2 & -12\\[4pt]1 & -5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -12\\[4pt]1 & -4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrever o sistema linear correspondente:
\begin{pmatrix}3 & -12\\[4pt]1 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}
que equivale ao par de equações
\begin{cases} 3x-12y=0,\\[4pt] x-4y=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema. Da segunda equação obtemos diretamente
x-4y=0\quad\Rightarrow\quad x=4y.
Substituindo na primeira equação dá
3(4y)-12y=12y-12y=0,
que é satisfeita para qualquer y. As duas equações são dependentes, então há infinitas soluções (direção única de autovetores).

Passo 6

Parâmetrizar a solução: tome y=t com t\in\mathbb{R}. Então
x=4t,\qquad y=t,
ou seja
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Como autovetor deve ser não-nulo, exige-se t\neq0. Portanto todos os autovetores associados a \lambda=-1 são os múltiplos escalares não-nulos de \begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (checagem): multiplicando a matriz por \begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}2 & -12\\[4pt]1 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot4-12\cdot1\\[4pt]1\cdot4-5\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]-1\end{pmatrix} = -1\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix},
confirmando que \begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix} é de fato um autovetor associado a \lambda=-1.]

Resposta

\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix},\\ t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}]

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