Encontre a matriz canônica de transformação, uma base para o núcleo e uma base para a imagem, analise se a transformação é inversível. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde T(x, y, z)=(x, y, z+3 y)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x,y,z+3y).
As perguntas são, de forma clara:
Encontrar a matriz canônica (matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3).
Encontrar uma base para o núcleo de T.
Encontrar uma base para a imagem de T.
Analisar se T é inversível.
As informações relevantes que já temos: a fórmula explícita de T aplicada a um vetor (x,y,z).
Passo 2
O que é a matriz canônica de uma transformação linear? É a matriz que representa T quando usamos a base canônica \{e_1,e_2,e_3\} tanto no domínio quanto no contradomínio. Para construí‑la, aplicamos T aos vetores da base canônica e colocamos os resultados como colunas da matriz.
Vamos calcular T nos vetores da base canônica:
e_1=(1,0,0). Então
T(1,0,0)=(1,0,0).
e_2=(0,1,0). Então
T(0,1,0)=(0,1,3).
e_3=(0,0,1). Então
T(0,0,1)=(0,0,1).
Esses três vetores serão as colunas da matriz canônica.
Passo 3
Montando a matriz com as colunas calculadas, a matriz canônica A de T (relativa à base canônica) é
Vou explicar rapidamente cada entrada: a primeira coluna vem de T(e_1)=(1,0,0), a segunda de T(e_2)=(0,1,3) e a terceira de T(e_3)=(0,0,1).]
Passo 4
Agora o núcleo de [T). Definição: o núcleo (ou núcleo) é o conjunto \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 : T(v)=0\}. Em termos da matriz, resolvemos A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira equação vem x=0\]. Da segunda vem \(y=0. Substituindo y=0 na terceira, obtemos z+3\cdot 0=0\Rightarrow z=0.
Logo a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Portanto
\ker(T)=\{(0,0,0)\},
ou seja, o núcleo é trivial. O subespaço trivial tem dimensão zero, então uma base para o núcleo é o conjunto vazio (não há vetores não nulos no núcleo).]
Passo 5
Agora a imagem de T. Definição: \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{\text{colunas de }A\}. As colunas são
Para saber se essas colunas geram todo \mathbb{R}^3, basta verificar se são linearmente independentes (ou calcular o posto). Uma verificação rápida é calcular o determinante de A. Como A é triangular por blocos, o determinante é produto dos elementos da diagonal:
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1=1\neq 0.
Determinante não nulo implica posto 3, logo as colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3. Portanto
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
Uma base para a imagem pode ser escolhida como as próprias colunas \{c_1,c_2,c_3\} ou, mais simplesmente, a base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Vou citar a base formada pelas colunas:
Inversibilidade: uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é inversível se, e somente se, é injetora (núcleo trivial) ou, equivalentemente, sobrejetora (imagem igual a \mathbb{R}^3). Aqui já vimos que \ker(T)=\{0\} e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3, então T é bijetora e portanto inversível.
Podemos também apresentar a matriz inversa de A. Observando a estrutura de A, uma matriz que funciona como inversa é
Base do núcleo: conjunto vazio (núcleo \{(0,0,0)\}).
Base da imagem: \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\} (ou a base canônica).
Inversível: Sim. A matriz inversa é \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & -3 & 1\end{pmatrix}.]