Determine o vetor (x, y) que satisfaz T\binom{x}{y}=\left(\begin{array}{cc}2 & -12 \\\\ 1 & -5\end{array}\right)\binom{x}{y}=\lambda\binom{x}{y}
Para \lambda=-2

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T representada pela matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -12\\[4pt] 1 & -5\end{pmatrix}
e pede um vetor (x,y) tal que
T\binom{x}{y}=A\binom{x}{y}=\lambda\binom{x}{y}
para \lambda=-2.
Informações relevantes:
  • A matriz A tem entradas 2,\,-12,\,1,\,-5 (organizadas como na matriz acima).
  • O escalar próprio (autovalor) fixado é \lambda=-2.
  • Queremos encontrar todos os vetores (x,y) que satisfazem a igualdade acima. Lembrar que o vetor próprio não pode ser o vetor nulo \binom{0}{0}.]

Passo 2

Recordando a definição prática: para encontrar vetores próprios associados a \lambda resolve-se a equação homogênea
(A-\lambda I)\binom{x}{y}=\binom{0}{0},
onde I é a matriz identidade 2\times2. Isso vem de reescrever A\binom{x}{y}=\lambda\binom{x}{y} como (A-\lambda I)\binom{x}{y}=0.

Passo 3

Calcular A-\lambda I com \lambda=-2. Como -\lambda=2, temos
A-\lambda I = A-(-2)I = A+2I = \begin{pmatrix}2&-12\\[4pt]1&-5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -12\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrever o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)\binom{x}{y}=\binom{0}{0}\). Isso dá as equações \[\begin{cases} 4x - 12y = 0,\\[4pt] x - 3y = 0. \end{cases}
Explicando: cada linha da multiplicação matricial gera uma equação linear em x\] e \(y.]

Passo 5

Resolver o sistema. Pela segunda equação x-3y=0 obtemos
x=3y.
Substituindo na primeira: 4(3y)-12y=12y-12y=0, ou seja, a primeira equação é compatível com a segunda (são dependentes). Portanto temos uma liberdade: escolha um parâmetro t\in\mathbb{R} para y, por exemplo y=t. Assim
x=3t,\qquad y=t.

Passo 6

Concluir a forma geral dos vetores próprios: todos os vetores não nulos que satisfazem a condição são múltiplos escalares de \binom{3}{1}. Em notação,
\binom{x}{y}=t\binom{3}{1}\quad\text{com }t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Verificação rápida (útil na prova): aplicar A em \binom{3}{1}:
A\binom{3}{1}=\begin{pmatrix}2&-12\\[4pt]1&-5\end{pmatrix}\binom{3}{1}=\binom{6-12}{3-5}=\binom{-6}{-2}=-2\binom{3}{1},
logo funciona.]

Resposta

\displaystyle \binom{x}{y}=t\binom{3}{1},\\ t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}

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