Seja o operador linear
definido por
. Determine [ T ] matriz canônica de T , e a seguir use a relação
para transformá-la na matriz de T na base
.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
Pede duas coisas:
- Determinar a matriz de
na base canônica (ou seja, na base padrão ). - Em seguida, usar a relação
para obter a matriz de na base .
Informações importantes fornecidas:
- Regra de
: para dá . - Base
: primeiro vetor , segundo vetor .
Passo 2
Como achar a matriz de
na base canônica: aplicar
aos vetores da base canônica
e
. As colunas da matriz de
(na base canônica) são exatamente
e
.
Calcule
:
Calcule
:
Portanto a matriz de
na base canônica é a matriz cujas colunas são esses vetores:
Passo 3
Para obter
precisamos construir a matriz
cujas colunas são os vetores da base
escritos na base canônica. Dado
, temos
Explicação curta: cada coluna de
é um vetor da nova base expresso nas coordenadas canônicas.]
Passo 4
Agora calculamos
. Para uma matriz
desde que o determinante
.
Aqui
. O determinante é
Logo
Passo 5
Vamos calcular
primeiro (é mais direto computar
). Multiplicamos
Calcule coluna a coluna (isto é equivalente a aplicar
aos vetores da base
):
- Primeira coluna:
- Segunda coluna:
Portanto
Passo 6
Agora multiplicamos por
:
Calcule o produto interior sem o fator
:
- Entrada (1,1):
- Entrada (1,2):
- Entrada (2,1):
- Entrada (2,2):
Então o produto é
. Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo pedagógico rápido: isso mostra que os vetores da base
são autovetores de
com autovalores
e
, porque
e
. Por isso a matriz ficou diagonal na base
.]