Seja o operador linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por T(x, y)=(2 x+9 y, x+2 y). Determine [ T ] matriz canônica de T , e a seguir use a relação [\mathrm{T}]_{\mathrm{B}}=\mathrm{P}^{-1}[\mathrm{~T}] \mathrm{P} para transformá-la na matriz de T na base B= \{(3,1),(-3,1)\}.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(2x+9y,\;x+2y).
Pede duas coisas:
  • Determinar a matriz de T na base canônica (ou seja, na base padrão \{(1,0),(0,1)\}).
  • Em seguida, usar a relação [\!T\!]_{B}=P^{-1}[\!T\!]P para obter a matriz de T na base B=\{(3,1),(-3,1)\}.
Informações importantes fornecidas:
  • Regra de T: para (x,y) (2x+9y,\;x+2y).
  • Base B: primeiro vetor (3,1), segundo vetor (-3,1).

Passo 2

Como achar a matriz de T na base canônica: aplicar T aos vetores da base canônica e_1=(1,0) e e_2=(0,1). As colunas da matriz de T (na base canônica) são exatamente T(e_1) e T(e_2).
Calcule T(e_1)=T(1,0):
T(1,0)=(2\cdot1+9\cdot0,\;1\cdot1+2\cdot0)=(2,1).
Calcule T(e_2)=T(0,1):
T(0,1)=(2\cdot0+9\cdot1,\;0+2\cdot1)=(9,2).
Portanto a matriz de T na base canônica é a matriz cujas colunas são esses vetores:
[\!T\!]=\begin{pmatrix}2 & 9\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para obter [\!T\!]_{B}=P^{-1}[\!T\!]P precisamos construir a matriz P cujas colunas são os vetores da base B escritos na base canônica. Dado B=\{(3,1),(-3,1)\}, temos
P=\begin{pmatrix}3 & -3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Explicação curta: cada coluna de P é um vetor da nova base expresso nas coordenadas canônicas.]

Passo 4

Agora calculamos P^{-1}. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
desde que o determinante ad-bc\neq0.
Aqui a=3,\\ b=-3,\\ c=1,\\ d=1. O determinante é
\det(P)=3\cdot1 - (-3)\cdot1 = 3+3=6.
Logo
P^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Vamos calcular [\!T\!]P primeiro (é mais direto computar P^{-1}([\!T\!]P)). Multiplicamos
[\!T\!]P=\begin{pmatrix}2 & 9\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calcule coluna a coluna (isto é equivalente a aplicar T aos vetores da base B):
  • Primeira coluna: [\!T\!]\begin{pmatrix}3\\[2pt]1\end{pmatrix}=T(3,1)=(2\cdot3+9\cdot1,\;3+2\cdot1)=(15,5).
  • Segunda coluna: [\!T\!]\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\end{pmatrix}=T(-3,1)=(2\cdot(-3)+9\cdot1,\;-3+2\cdot1)=(3,-1).
Portanto
[\!T\!]P=\begin{pmatrix}15 & 3\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora multiplicamos por P^{-1}:
[\!T\!]_{B}=P^{-1}[\!T\!]P=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}15 & 3\\[4pt]5 & -1\end{pmatrix}.
Calcule o produto interior sem o fator \tfrac{1}{6}:
  • Entrada (1,1): 1\cdot15 + 3\cdot5 = 15+15=30.
  • Entrada (1,2): 1\cdot3 + 3\cdot(-1)=3-3=0.
  • Entrada (2,1): (-1)\cdot15 + 3\cdot5 = -15+15=0.
  • Entrada (2,2): (-1)\cdot3 + 3\cdot(-1) = -3-3=-6.
Então o produto é \begin{pmatrix}30 & 0\\[4pt]0 & -6\end{pmatrix}. Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{6} obtemos
[\!T\!]_{B}=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Passo pedagógico rápido: isso mostra que os vetores da base B são autovetores de T com autovalores 5 e -1, porque T(3,1)=5(3,1) e T(-3,1)=-1(-3,1). Por isso a matriz ficou diagonal na base B.]

Resposta

[\!T\!]=\begin{pmatrix}2 & 9\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}
[\!T\!]_{B}=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}

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