Determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, sabendo que sua aceleração é dada por vec(a)(t) = (2, 0, 2 t) e que no instante de tempo t = 0 temos v(0) = (3, -1, 0) e r(0) = (0, 1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento de uma partícula. A aceleração da partícula é dada por . Além disso, sabemos que quando o tempo t é igual a 0, a velocidade é e a posição é . Vamos usar conceitos de cálculo para encontrar as funções da velocidade vec(v)(t) e da posição vec(r)(t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração com respeito ao tempo.
A aceleração dada é . Vamos integrar cada componente separadamente:

Passo 3

Calculando as integrais:
  • Para a primeira componente:
  • Para a segunda componente:
  • Para a terceira componente:
Então, a velocidade geral fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as constantes de integração ( , , ). Sabemos que em , a velocidade é . Vamos substituir na expressão da velocidade:
Isso nos dá:

Passo 5

Substituindo as constantes encontradas na expressão da velocidade:
Agora, temos a função da velocidade em termos do tempo.

Passo 6

Para encontrar a posição, lembramos que a posição é a integral da velocidade com respeito ao tempo. Então, vamos integrar vec(v)(t) para obter vec(r)(t).

Passo 7

Calculando as integrais:
  • Para a primeira componente:
  • Para a segunda componente:
  • Para a terceira componente:
Então, a posição geral fica:

Passo 8

Agora, vamos encontrar as constantes de integração ( , , ). Sabemos que em , a posição é . Vamos substituir na expressão da posição:
Isso nos dá:

Passo 9

Substituindo as constantes encontradas na expressão da posição:

Resposta

A velocidade da partícula é e a posição é .

Exercícios relacionados