Determine o volume molar do n-butano a 510 K e 25 bar, através dos seguintes procedimentos:
c. Equação de Redlich-Kwong;
c. Equação de Redlich-Kwong;
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume molar do n-butano nas condições
e
, usando a equação de Redlich–Kwong.
Dados que vamos usar (valores de tabela para n-butano, tomados de referências termodinâmicas):
- Temperatura crítica:
. - Pressão crítica:
(equivalente a ).
Dados do estado:
-
. -
.
Constante universal dos gases:
-
.
O que se pede: o volume molar
(unidade natural:
ou
) do n-butano nessas condições, resolvendo a equação de Redlich–Kwong.
Passo 2
Apresentação da equação de Redlich–Kwong (forma usual para volume molar
):
Aqui:
-
é a pressão (Pa). -
é a temperatura (K). -
é o volume molar ( ). -
e são parâmetros da equação dependentes de e .
Fórmulas do modelo RK para
e
:
Explicação curta: o termo
representa o comportamento ideal corrigido pela exclusão de volume
(efeito repulsivo), e o termo com
representa a atração intermolecular (dependente de
no modelo RK). Vamos calcular
,
e então resolver numericamente para
.
Passo 3
Cálculo numérico de
e
.
Primeiro calcular
:
Substituindo os valores (
,
,
):
Logo (fazendo as contas com atenção às ordens de grandeza):
Agora
:
Resumo numérico:
(As unidades de
e
foram mantidas implícitas conforme a consistência dimensional com
em
.)
Passo 4
Montando a equação a ser resolvida e método numérico.
Definimos a função
de modo que a solução procurada é o zero de
:
.
Escolha do método numérico: usaremos o método de Newton–Raphson porque convergência é rápida quando se tem uma boa aproximação inicial (é prático em prova, dá poucas iterações). O passo do Newton é
onde a derivada é
(só fiz a derivada termo a termo; a primeira parte vem de
e a segunda de
.)
Aproximação inicial: usar o volume molar ideal
Substituímos valores:
Passo 5
Iterações de Newton–Raphson (mostro as contas principais em cada iteração; os valores numéricos estão arredondados nas etapas para facilitar a leitura, mantendo precisão suficiente para convergência).
Definições úteis a cada iteração:
Iteração 0 (inicial):
Cálculo de
e
(valores aproximados):
Aplicando Newton:
Iteração 1:
Cálculos (valores aproximados):
Newton:
Iteração 2:
Cálculos:
Newton:
Iteração 3:
Cálculo de
dá um valor muito pequeno (ordem de
a
Pa), portanto já atingimos boa convergência para as casas relevantes ao problema. Em notação mais usual, esse volume molar corresponde a:
Passo 6
Interpretação rápida: o volume molar real obtido pela RK é menor que o valor do gás ideal (
), indicando que, nas condições dadas, as correções da equação de estado (especialmente a atração representada por
) reduzem o volume comparado ao ideal. A solução encontrada é consistente e convergiu rapidamente com Newton–Raphson.