Determine o volume molar do n-butano a 510 K e 25 bar, através dos seguintes procedimentos:
b. A equação de van der Waals;
b. A equação de van der Waals;
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume molar do n-butano a
e
usando a equação de van der Waals.
Informações fornecidas e que vou usar:
Informações fornecidas e que vou usar:
- Temperatura:
. - Pressão:
. - Vou usar a equação de van der Waals na forma para volume molar
:
- Para aplicar essa equação preciso dos parâmetros do n-butano
e . Vou obter e a partir das constantes críticas e do n-butano (valores de tabela). Os valores de tabela que vou usar são: -
, -
-
- Constante universal dos gases no sistema
:
Passo 2
Explico como obter
e
a partir de
e
. Para a equação de van der Waals há relações teóricas entre as constantes críticas e
:
Isolando
e
obtemos fórmulas diretas úteis na prática:
Aqui:
-
e são temperatura e pressão críticas (valores de tabela citados no passo 1); -
é a constante dos gases.
Vou calculare usando essas fórmulas.
Passo 3
Cálculo de
. Substituindo os números:
Faço a multiplicação do numerador:
E o denominador:
Portanto
Interpretação física rápida:
representa o “volume ocupado” por mol de moléculas (correção de volume próprio).
Passo 4
Cálculo de
. Uso a fórmula:
Primeiro calculo
. Já tenho
(pois
) e
Logo
Então
onde calculei diretamente
(Num valor mais significativo:
.)
Interpretação física: corrige as atrações intermoleculares (pressão efetiva).
Interpretação física:
Passo 5
Agora escrevo a equação de van der Waals explícita para
:
Substituo os valores numéricos (unidades compatíveis:
e
em
,
em
,
em
):
-
, -
(arredondei para três decimais), -
, -
.
Multiplicando e reorganizando, obtém-se um polinômio cúbico para
. Faço isso para facilitar a resolução numérica:
Partindo de
Partindo de
multiplico por
e reorganizo em forma cúbica:
Passo 6
Substituo os valores numéricos no cúbico. Primeiro calculo os coeficientes:
Portanto a equação fica
Dividindo por
para simplificar:
Passo 7
Vou achar a raiz real positiva dessa cúbica numericamente. Como boa estimativa inicial uso o volume do gás ideal:
Isso me dá um palpite inicial. Para resolver a cúbica fiz uma busca por intervalo e refinamento (método de bisseção/iteração simples): avaliei a função cúbica
em pontos próximos ao palpite e refinei até conseguir convergência com precisão razoável (trabalhei com 4–5 casas decimais). Aqui mostro alguns passos numéricos de refinamento:
-
(positivo), -
(positivo), -
(negativo).
Portanto existe uma raiz entre
e
. Refinei mais fino:
-
, -
.
Interpolei linearmente entre esses dois valores para obter a raiz com precisão de cerca de
:
Passo 8
Interpretações e checagens rápidas:
- Volume do gás ideal tinha sido
. O valor previsto pela van der Waals é menor: isso mostra que, nas condições dadas, as atrações intermoleculares efetivamente reduzem o volume ocupado comparado ao ideal (ou, visto de outra forma, o termo reduz a pressão efetiva). - A solução encontrada é positiva e única na faixa considerada (para estas condições só uma raiz física relevante).