Determine o volume dos seguintes sólidos:
x^{2}+y^{2} \newline less 1, x+y+2 \newline less z \newline less 4;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}\le1, inferiormente pelo plano z=x+y+2 e superiormente pelo plano z=4. Vamos usar a redução a uma integral dupla sobre a base no plano xy.

Passo 2

O volume V pode ser escrito como
V = \iint_{D}\Bigl(4 - (x+y+2)\Bigr)\,dA
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 3

Simplificando o integrando, temos
4 - (x+y+2) = 2 - x - y.
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V = \iint_{D}(2 - x - y)\,dA.

Passo 4

Como D é centrado na origem, \iint_{D}x\,dA = \iint_{D}y\,dA = 0. Assim
V = 2\iint_{D}dA = 2\cdot\bigl(\text{área de }D\bigr) = 2\cdot\pi\cdot1^{2} = 2\pi.á

Resposta

2\pi

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