Abaixo da superfície z=x^{2} y+x y^{2} e acima da região limitada pelas curvas y=x^{3}-x e y=x^{2}+x para x \geq 0
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo da superfície \;z = x^{2}y + x y^{2}\; e acima da região do plano xy limitada pelas curvas \;y = x^{3}-x\; e \;y = x^{2}+x\; com a restrição \;x \ge 0\;.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Superfície: }\; z = x^{2}y + x y^{2},\\\ &\text{Curvas que limitam a região: }\; y = x^{3}-x \quad\text{e}\quad y = x^{2}+x,\\\ &\text{Condição adicional: }\; x \ge 0,\\\ &\text{O que se pede: volume do sólido entre a superfície e a região do plano \(xy\).} \end{aligned}
Passo 2
Primeiro passo prático: determinar a região no plano xy. Para isso encontramos as interseções das curvas resolvendo
x^{3}-x = x^{2}+x.
Levo todos os termos para um lado:
x^{3}-x^{2}-2x = 0.
Fatorizo x em evidência:
x(x^{2}-x-2)=0.
Fatorizando o quadrático temos
x(x-2)(x+1)=0.
As raízes são \;x=0,\;x=2,\;x=-1.; Como o enunciado exige \;x\ge 0\;, as interseções relevantes são \;x=0\; e \;x=2\;.
Agora preciso saber qual curva é a superior (maior y) para x\in[0,2]. Testo um valor simples, por exemplo \;x=1\;:
Verificação numérica rápida (só para ter noção): \dfrac{104224}{3465}\approx 30{,}079. Isso confirma que o valor é positivo e da ordem de poucas dezenas, coerente com a superfície e a região consideradas.