Determine o volume do sólido dado.
Abaixo da superfície z=x^{2} y+x y^{2} e acima da região limitada pelas curvas y=x^{3}-x e y=x^{2}+x para x \geq 0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo da superfície \;z = x^{2}y + x y^{2}\; e acima da região do plano xy limitada pelas curvas \;y = x^{3}-x\; e \;y = x^{2}+x\; com a restrição \;x \ge 0\;.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Superfície: }\; z = x^{2}y + x y^{2},\\\ &\text{Curvas que limitam a região: }\; y = x^{3}-x \quad\text{e}\quad y = x^{2}+x,\\\ &\text{Condição adicional: }\; x \ge 0,\\\ &\text{O que se pede: volume do sólido entre a superfície e a região do plano \(xy\).} \end{aligned}íãçãóíã

Passo 2

Primeiro passo prático: determinar a região no plano xy. Para isso encontramos as interseções das curvas resolvendo
x^{3}-x = x^{2}+x.
Levo todos os termos para um lado:
x^{3}-x^{2}-2x = 0.
Fato­rizo x em evidência:
x(x^{2}-x-2)=0.
Fatorizando o quadrático temos
x(x-2)(x+1)=0.
As raízes são \;x=0,\;x=2,\;x=-1.; Como o enunciado exige \;x\ge 0\;, as interseções relevantes são \;x=0\; e \;x=2\;.
Agora preciso saber qual curva é a superior (maior y) para x\in[0,2]. Testo um valor simples, por exemplo \;x=1\;:
y_{\text{primeira}}(1)=1^{3}-1=0,\qquad y_{\text{segunda}}(1)=1^{2}+1=2.
Logo \;y=x^{2}+x\; é a curva superior e \;y=x^{3}-x\; é a curva inferior no intervalo [0,2].
Portanto a região R no plano é descrita por
0\le x\le 2,\qquad x^{3}-x \le y \le x^{2}+x.
Como queremos o volume abaixo de \;z=f(x,y)=x^{2}y+xy^{2}\; e acima de R, montamos a integral dupla (ordem dy\,dx):
V=\iint_{R} (x^{2}y + x y^{2})\,dA =\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=x^{3}-x}^{x^{2}+x} \bigl(x^{2}y + x y^{2}\bigr)\,dy\right)dx.

Passo 3

Vou calcular a integral interna em y. Para isso uso antiderivadas simples para potências de y:
Regra que uso: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando termo a termo:
\int (x^{2}y + x y^{2})\,dy = x^{2}\int y\,dy + x\int y^{2}\,dy = x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2} + x\cdot\frac{y^{3}}{3}.
Portanto a integral interna avaliada entre os limites dá
\left.\left(\frac{x^{2}y^{2}}{2} + \frac{x y^{3}}{3}\right)\right|_{y=x^{3}-x}^{y=x^{2}+x}.

Passo 4

Agora substituo os limites. Vou separar em dois blocos para não me perder:
Defino
A(x)=\frac{x^{2}}{2}\bigl(y^{2}\bigr),\qquad B(x)=\frac{x}{3}\bigl(y^{3}\bigr),
e vou calcular A e B para y_{u}=x^{2}+x (superior) e y_{\ell}=x^{3}-x (inferior).
Calculo os quadrados e cubos necessários:
Para y_{u}=x^{2}+x:
\begin{aligned} y_{u}^{2} &= (x^{2}+x)^{2} = x^{4}+2x^{3}+x^{2},\\[4pt] y_{u}^{3} &= (x^{2}+x)^{3} = x^{6}+3x^{5}+3x^{4}+x^{3}. \end{aligned}
Para y_{\ell}=x^{3}-x:
\begin{aligned} y_{\ell}^{2} &= (x^{3}-x)^{2} = x^{6}-2x^{4}+x^{2},\\[4pt] y_{\ell}^{3} &= (x^{3}-x)^{3} = x^{9}-3x^{7}+3x^{5}-x^{3}. \end{aligned}
Agora a diferença A(y_{u})-A(y_{\ell}) e B(y_{u})-B(y_{\ell}) será:
A_{\Delta}(x)=\frac{x^{2}}{2}\bigl(y_{u}^{2}-y_{\ell}^{2}\bigr), \qquad B_{\Delta}(x)=\frac{x}{3}\bigl(y_{u}^{3}-y_{\ell}^{3}\bigr).]

Passo 5

Calculo explicitamente as diferenças e simplifico termo a termo.
Primeiro y_{u}^{2}-y_{\ell}^{2}:
\begin{aligned} y_{u}^{2}-y_{\ell}^{2} &= (x^{4}+2x^{3}+x^{2}) - (x^{6}-2x^{4}+x^{2})\\[4pt] &= -x^{6} +3x^{4} +2x^{3}. \end{aligned}
Multiplicando por \dfrac{x^{2}}{2} obtemos
A_{\Delta}(x)=\frac{x^{2}}{2}\bigl(-x^{6}+3x^{4}+2x^{3}\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(-x^{8}+3x^{6}+2x^{5}\bigr).
Agora y_{u}^{3}-y_{\ell}^{3}:
\begin{aligned} y_{u}^{3}-y_{\ell}^{3} &= (x^{6}+3x^{5}+3x^{4}+x^{3}) - (x^{9}-3x^{7}+3x^{5}-x^{3})\\[4pt] &= -x^{9} +3x^{7} +x^{6} +3x^{4} +2x^{3}. \end{aligned}
Multiplicando por \dfrac{x}{3} obtemos
B_{\Delta}(x)=\frac{x}{3}\bigl(-x^{9}+3x^{7}+x^{6}+3x^{4}+2x^{3}\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(-x^{10}+3x^{8}+x^{7}+3x^{5}+2x^{4}\bigr).
Somando A_{\Delta}(x)+B_{\Delta}(x) (que é o resultado da integral interna) tenho
\begin{aligned} &\frac{1}{2}\bigl(-x^{8}+3x^{6}+2x^{5}\bigr) +\frac{1}{3}\bigl(-x^{10}+3x^{8}+x^{7}+3x^{5}+2x^{4}\bigr)\\[6pt] &= \frac{1}{6}\bigl(-2x^{10}+3x^{8}+2x^{7}+9x^{6}+12x^{5}+4x^{4}\bigr), \end{aligned}
onde para somar eu coloquei em denominador comum 6 e combinei coeficientes de cada potência.]

Passo 6

Portanto a integral completa para o volume fica
V=\int_{0}^{2} \frac{1}{6}\bigl(-2x^{10}+3x^{8}+2x^{7}+9x^{6}+12x^{5}+4x^{4}\bigr)\,dx.
Posso tirar o fator \dfrac{1}{6} para fora:
V=\frac{1}{6}\int_{0}^{2} \bigl(-2x^{10}+3x^{8}+2x^{7}+9x^{6}+12x^{5}+4x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 7

Agora aplico a regra do poder para integrar termo a termo: \displaystyle \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Antiderivada da função integrada:
\begin{aligned} \int\bigl(-2x^{10}\bigr)\,dx &= -2\cdot\frac{x^{11}}{11} = -\frac{2x^{11}}{11},\\[4pt] \int 3x^{8}\,dx &= 3\cdot\frac{x^{9}}{9} = \frac{x^{9}}{3},\\[4pt] \int 2x^{7}\,dx &= 2\cdot\frac{x^{8}}{8} = \frac{x^{8}}{4},\\[4pt] \int 9x^{6}\,dx &= 9\cdot\frac{x^{7}}{7} = \frac{9x^{7}}{7},\\[4pt] \int 12x^{5}\,dx &= 12\cdot\frac{x^{6}}{6} = 2x^{6},\\[4pt] \int 4x^{4}\,dx &= 4\cdot\frac{x^{5}}{5} = \frac{4x^{5}}{5}. \end{aligned}
Assim
\begin{aligned} V &= \frac{1}{6}\left[\; -\frac{2x^{11}}{11} + \frac{x^{9}}{3} + \frac{x^{8}}{4} + \frac{9x^{7}}{7} + 2x^{6} + \frac{4x^{5}}{5} \;\right]_{0}^{2}. \end{aligned}
Avalio em x=2 (o termo em x=0 é zero):
uso as potências \;2^{5}=32,\;2^{6}=64,\;2^{7}=128,\;2^{8}=256,\;2^{9}=512,\;2^{11}=2048.
Substituindo:
\begin{aligned} \text{colchete} &= -\frac{2\cdot 2048}{11} + \frac{512}{3} + \frac{256}{4} + \frac{9\cdot128}{7} + 2\cdot64 + \frac{4\cdot32}{5}\\[4pt] &= -\frac{4096}{11} + \frac{512}{3} + 64 + \frac{1152}{7} + 128 + \frac{128}{5}. \end{aligned}
Faço a soma das frações com denominador comum 1155 (LCM de 11,3,7,5) para obter um racional exato; o somatório resulta em
\text{colchete} = \frac{208448}{1155}.
Portanto
V=\frac{1}{6}\cdot\frac{208448}{1155}=\frac{208448}{6930}=\frac{104224}{3465}.]

Passo 8

Verificação numérica rápida (só para ter noção): \dfrac{104224}{3465}\approx 30{,}079. Isso confirma que o valor é positivo e da ordem de poucas dezenas, coerente com a superfície e a região consideradas.

Resposta

\displaystyle \frac{104224}{3465}

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