Calcule a integral trocando a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{1}{y^{3}+1} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}}\frac{1}{y^{3}+1}\,dy\,dx
trocando a ordem de integração. Informações dadas:
  • A integração original é sobre x de 0 a 1 e, para cada x, sobre y de 0 a \sqrt{x}.
  • A função integranda é \dfrac{1}{y^{3}+1}.
    O objetivo é reescrever a integral com a ordem dx\,dy, calcular a integral interna correspondente e então resolver a integral unidimensional resultante até obter o valor numérico.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano (x,y). As condições são
0 \le x \le 1,\qquad 0 \le y \le \sqrt{x}.
A desigualdade y \le \sqrt{x} é equivalente a y^{2} \le x (já que y\ge0). Portanto, para um dado y fixo, x varia de x=y^{2} até x=1. Também vemos que y vai desde 0 (quando x=0) até 1 (quando x=1 e \sqrt{x}=1). Assim os novos limites são
0 \le y \le 1,\qquad y^{2} \le x \le 1.

Passo 3

Trocando a ordem de integração obtemos
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{1}\frac{1}{y^{3}+1}\,dx\,dy.

Passo 4

A integral interna em x é simples porque a integranda não depende de x. Então
\int_{y^{2}}^{1}\frac{1}{y^{3}+1}\,dx=\frac{1}{y^{3}+1}\bigg|_{x=y^{2}}^{x=1}=\frac{1-y^{2}}{y^{3}+1}.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral em y
\int_{0}^{1}\frac{1-y^{2}}{y^{3}+1}\,dy.

Passo 5

Simplificamos a função racional \dfrac{1-y^{2}}{y^{3}+1}. Note que
y^{3}+1=(y+1)(y^{2}-y+1).
Fazemos decomposição parcial do tipo
\frac{1-y^{2}}{y^{3}+1}=\frac{A}{y+1}+\frac{By+C}{y^{2}-y+1}.
Multiplicando ambos os lados por y^{3}+1 e igualando coeficientes obtemos o sistema (apenas mostro o resultado da resolução)
A=0,\quad B=-1,\quad C=1.
Logo
\frac{1-y^{2}}{y^{3}+1}=\frac{-y+1}{y^{2}-y+1}=\frac{1-y}{y^{2}-y+1}.
Assim a integral fica
\int_{0}^{1}\frac{1-y}{y^{2}-y+1}\,dy.

Passo 6

Vamos calcular
\int_{0}^{1}\frac{1-y}{y^{2}-y+1}\,dy.
Uma técnica útil é separar o numerador em uma combinação do derivado do denominador mais uma constante. O denominador é D(y)=y^{2}-y+1 e D'(y)=2y-1. Procuramos \alpha e \beta tais que
1-y=\alpha(2y-1)+\beta.
Igualando coeficientes obtemos \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{1}{2}. Assim
\frac{1-y}{y^{2}-y+1}=-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2y-1}{y^{2}-y+1}+\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{y^{2}-y+1}.
Integramos termo a termo:
  • Para o primeiro termo, como \frac{2y-1}{y^{2}-y+1}=\frac{D'(y)}{D(y)}, temos
\int -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2y-1}{y^{2}-y+1}\,dy=-\tfrac{1}{2}\ln\big(y^{2}-y+1\big).
  • Para o segundo termo, completamos o quadrado no denominador:
y^{2}-y+1=\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{3}{4}.
Usamos a primitiva padrão \displaystyle\int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right). Com a mudança u=y-\tfrac{1}{2} e a=\tfrac{\sqrt{3}}{2} obtemos
\int \frac{1}{y^{2}-y+1}\,dy=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right).
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} do nosso termo, a contribuição é
\tfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right).
Portanto uma antiderivada válida é
F(y)=-\tfrac{1}{2}\ln\big(y^{2}-y+1\big)+\tfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 7

Avaliamos a primitiva F entre 0 e 1. Observamos que y^{2}-y+1=1 tanto em y=0 quanto em y=1, então os termos com \ln se anulam na diferença. Para a função arco-tangente usamos \arctan\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\tfrac{\pi}{6} e \arctan\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\tfrac{\pi}{6}. Assim
\int_{0}^{1}\frac{1-y}{y^{2}-y+1}\,dy = \frac{1}{\sqrt{3}}\Bigg(\arctan\!\left(\frac{2\cdot 1-1}{\sqrt{3}}\right)-\arctan\!\left(\frac{2\cdot 0-1}{\sqrt{3}}\right)\Bigg) = \frac{1}{\sqrt{3}}\Big(\tfrac{\pi}{6}-\big(-\tfrac{\pi}{6}\big)\Big).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt{3}}

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