trocando a ordem de integração. Informações dadas:
A integração original é sobre x de 0 a 1 e, para cada x, sobre y de 0 a \sqrt{x}.
A função integranda é \dfrac{1}{y^{3}+1}.
O objetivo é reescrever a integral com a ordem dx\,dy, calcular a integral interna correspondente e então resolver a integral unidimensional resultante até obter o valor numérico.
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano (x,y). As condições são
0 \le x \le 1,\qquad 0 \le y \le \sqrt{x}.
A desigualdade y \le \sqrt{x} é equivalente a y^{2} \le x (já que y\ge0). Portanto, para um dado y fixo, x varia de x=y^{2} até x=1. Também vemos que y vai desde 0 (quando x=0) até 1 (quando x=1 e \sqrt{x}=1). Assim os novos limites são
Uma técnica útil é separar o numerador em uma combinação do derivado do denominador mais uma constante. O denominador é D(y)=y^{2}-y+1 e D'(y)=2y-1. Procuramos \alpha e \beta tais que
1-y=\alpha(2y-1)+\beta.
Igualando coeficientes obtemos \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{1}{2}. Assim
Usamos a primitiva padrão \displaystyle\int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right). Com a mudança u=y-\tfrac{1}{2} e a=\tfrac{\sqrt{3}}{2} obtemos
Avaliamos a primitiva F entre 0 e 1. Observamos que y^{2}-y+1=1 tanto em y=0 quanto em y=1, então os termos com \ln se anulam na diferença. Para a função arco-tangente usamos \arctan\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\tfrac{\pi}{6} e \arctan\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\tfrac{\pi}{6}. Assim