Determine o volume do sólido definido pelas superfícies 
  e 
  
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre as superfícies 
  e 
 . Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente integrais múltiplas para calcular volumes entre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas superfícies se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação, temos:
Isso significa que as duas superfícies se intersectam em um círculo com raio 
 .
Passo 3
Como a região de integração é circular, fica mais fácil usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Assim, as equações das superfícies ficam:
Passo 4
Para encontrar o volume entre essas superfícies, calculamos a diferença 
  e integramos sobre a região de interseção:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração. 
  varia de 0 a 
  e 
  varia de 0 a 
 :
Passo 6
Vamos integrar em relação a 
  primeiro:
Calculando no limite superior:
Passo 7
Agora, integramos em relação a 
 :
Resposta
O volume do sólido é 
  unidades cúbicas.