Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4x - 6y - 2z + 15 e acima do retângulo R = {(x, y) | -1 <= x <= 2, -1 <= y <= 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo! O enunciado pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano e acima de um retângulo definido por e . Vamos usar integração para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a equação do plano em função de . Assim, isolamos :
Então, .

Passo 3

Agora, para encontrar o volume abaixo desse plano e acima do retângulo , vamos calcular uma integral dupla de sobre a região . Ou seja:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração com base no retângulo . Temos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é 51 unidades cúbicas.

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