Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo -x, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: f(x) = raiz(x^2 + 1), x = 0, x = 3 e y = 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região ao redor do eixo -x. Essa região é delimitada pelas curvas , pelas retas x = 0, e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva é uma função que sempre dá um valor positivo para y, já que estamos tirando a raiz quadrada. As retas x = 0 e vão limitar nossa região no eixo x, e é o eixo x mesmo. Então, estamos olhando para uma região entre x = 0 e , debaixo da curva f(x) e acima do eixo x.

Passo 3

Vamos decidir qual método usar. Como estamos girando a região em torno do eixo x, o método dos discos é apropriado. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, f(x) é a função que define a fronteira da região (nossa ), e a e b são os limites de integração, que neste caso são 0 e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula. Primeiro, vamos elevar a função f(x) ao quadrado:
Então, o volume fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral. Integramos x^2 e 1 separadamente:
Portanto,

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a :

Resposta

Multiplicando pelo pi, o volume do sólido é:
Então, o volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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