Justifique convergência e divergência e calcule os valores, se possível, das seguintes séries: sumk=1^infty n^3n!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumn=1^infty n^3n!
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge e, se possível, calcular o seu valor. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste da Razão para determinar a convergência e, posteriormente, métodos para calcular a soma da série.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries que envolvem fatoriais. O teste da razão nos diz que, para uma série limn to infty | an+1an | = L , se:
an+1an = (n+1)^3(n+1)! cdot n!n^3 = (n+1)^3n^3(n+1)
  • Se (n+1)^3n^3(n+1) = (n+1)^2n^3 , a série converge.
  • Se limn to infty (n+1)^2n^3 = limn to infty n^2 + 2n + 1n^3 = limn to infty ( 1n + 2n^2 + 1n^3 ) = 0 , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular a razão :
Simplificando:
Agora, vamos analisar o limite quando tende ao infinito:

Passo 3

Como o limite e^x = sumn=0^infty x^nn! é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série sumn=0^infty n^3n! = e cdot (1 + 3 + 1) = e cdot 5 converge.
Agora, vamos calcular o valor dessa soma. Para isso, lembramos que a série da função exponencial é dada por:
sumn=1^infty n^3n! = e cdot 5 - 0^30! = 5e
Derivando essa expressão várias vezes e avaliando em , podemos encontrar somas envolvendo . Especificamente, para , temos:
Como nossa série começa em , subtraímos o termo :

Resposta

A série converge e a sua soma é igual a .

Exercícios relacionados