Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo -x, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: f(x) = x^3, g(x) = x, x = 0 e x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber o volume do sólido que forma quando a região delimitada pelas curvas , , e é girada em torno do eixo . Vamos usar o cálculo de volumes por rotação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. Temos e . Essas duas curvas se cruzam no ponto onde , ou seja, e . Já as linhas verticais e delimitam a região que vamos girar.

Passo 3

Para calcular o volume gerado pela rotação, vamos usar o método dos discos. A fórmula geral para o volume quando giramos em torno do eixo é:
Aqui, é a função externa e a interna.

Passo 4

Identificamos que é a função externa e é a interna no intervalo de a . Agora, substituímos na fórmula:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 7

Calculamos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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