Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber o volume do sólido que forma quando a região delimitada pelas curvas
,
,
e
é girada em torno do eixo
. Vamos usar o cálculo de volumes por rotação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. Temos
e
. Essas duas curvas se cruzam no ponto onde
, ou seja,
e
. Já as linhas verticais
e
delimitam a região que vamos girar.
Passo 3
Para calcular o volume gerado pela rotação, vamos usar o método dos discos. A fórmula geral para o volume
quando giramos em torno do eixo
é:
Aqui,
é a função externa e
a interna.
Passo 4
Identificamos que
é a função externa e
é a interna no intervalo de
a
. Agora, substituímos na fórmula:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 7
Calculamos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.