Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(45) integral raiz1+raizx d xraizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz1+raizxraizx , dx. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente o método da substituição (ou mudança de variável). Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para dentro da raiz quadrada: temos 1 + raizx. Vamos fazer uma substituição para simplificar essa expressão. Vamos definir:
u = 1 + raizx
Assim, precisamos encontrar uma expressão para du em termos de dx.

Passo 3

Vamos derivar u em relação a x:
dudx = ddx(1 + raizx) = 12raizx
Então, podemos escrever:
du = 12raizx , dx
Ou seja:
dx = 2raizx , du

Passo 4

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral raizuraizx cdot 2raizx , du
Note que raizx no denominador e raizx no numerador se cancelam:
integral 2raizu , du

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
2 integral raizu , du
Sabemos que integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C, onde C é a constante de integração. Então:
2 cdot 23 u^3/2 + C = 43 u^3/2 + C

Passo 6

Agora, vamos substituir u de volta para termos em termos de x:
43 (1 + raizx)^3/2 + C

Resposta

A integral é igual a 43 (1 + raizx)^3/2 + C.

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