Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo -x, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: f(x) = 2 - x, g(x) = x^3, x = 0 e x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando giramos em torno do eixo -x a região delimitada pelas curvas f(x) = 2 - x, g(x) = x^3, e as retas x = 0 e x = 1. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que vamos girar. A função f(x) = 2 - x é uma reta que desce de 0,2 a 2,0, e g(x) = x^3 é uma curva cúbica que passa por (0,0) e cresce à medida que x aumenta. As retas x = 0 e x = 1 delimitam a região no intervalo de x = 0 a x = 1.

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo -x, que é basicamente o mesmo que girar em torno do eixo x (a direção não afeta o volume), vamos usar o método dos anéis (ou discos). Esse método envolve integrar a área da diferença entre os quadrados das funções que limitam a região.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Aqui, f(x) é a função de cima e g(x) a de baixo no intervalo considerado, que nesse caso é de x = 0 a x = 1.

Passo 5

Identificamos que está sempre acima de nesse intervalo. Então, substituímos na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos desenvolver os quadrados:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Somando todos os resultados:

Resposta

O volume do sólido gerado é:
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