Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando giramos em torno do eixo
a região delimitada pelas curvas
,
, e as retas
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que vamos girar. A função
é uma reta que desce de
a
, e
é uma curva cúbica que passa por
e cresce à medida que
aumenta. As retas
e
delimitam a região no intervalo de
a
.
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo
, que é basicamente o mesmo que girar em torno do eixo
(a direção não afeta o volume), vamos usar o método dos anéis (ou discos). Esse método envolve integrar a área da diferença entre os quadrados das funções que limitam a região.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Aqui,
é a função de cima e
a de baixo no intervalo considerado, que nesse caso é de
a
.
Passo 5
Identificamos que
está sempre acima de
nesse intervalo. Então, substituímos na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos desenvolver os quadrados:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Somando todos os resultados:
Resposta
O volume do sólido gerado é: