Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo -y, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: f(x) = sen(x), x = 0, x = pi/2 e y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para determinar o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos, em torno do eixo -y, a região delimitada pelas curvas , x = 0, e . Para isso, vamos utilizar o cálculo de volumes por rotação, especificamente o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas).

Passo 2

Primeiro, é importante entender a região que vamos rotacionar. Temos a curva entre x = 0 e . A linha é o eixo x. Então, a região está limitada por essas curvas e pelos valores de x mencionados.

Passo 3

Como vamos rotacionar essa região em torno do eixo -y, o método dos cilindros é ideal. Esse método consiste em imaginar cilindros infinitamente finos empilhados ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Aqui, x é a distância do cilindro ao eixo de rotação, e f(x) é a altura do cilindro.

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
  • Os limites de integração são de x = 0 a
Então, a integral fica:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 5

Para resolver , usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
Escolhemos:
Aplicando:
Agora, aplicamos os limites de 0 a pi / 2:

Resposta

Portanto, o volume do sólido gerado é:

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