Determine o volume dos sólidos obtidos se a região plana 
  descrita for rotacionada em torno do eixo 
  :(e) 
  é limitada por 
  e 
  Resposta: 
 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma região plana chamada 
  que é delimitada pelas curvas 
 , 
  (o eixo 
 ), 
  e 
 . A tarefa é descobrir o volume do sólido que surge quando rotacionamos essa região ao redor do eixo 
 . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região 
 . A função 
  é uma curva que cresce lentamente para a direita. Ela começa em 
  onde 
  e vai até 
  onde 
 . A linha 
  é apenas o eixo 
 . Então, a região 
  é tipo uma “faixinha” entre 
  e 
 , debaixo da curva 
 .
Passo 3
Vamos aplicar o método dos discos. Quando rotacionamos essa região em torno do eixo 
 , cada pequena fatia vertical da região vira um disco. O volume de cada disco é dado pela área da base (
 ) vezes a espessura (
 ). Aqui, o raio 
  de cada disco é a altura da curva 
 , já que estamos rotacionando em torno do eixo 
 .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral que representa o volume total. A fórmula fica assim:
Isso significa que vamos integrar o quadrado da função 
  de 
  até 
 , e multiplicar por 
 .
Passo 5
Vamos resolver a integral 
 . Para isso, usamos a integração por partes. Deixando 
  e 
 , encontramos que a integral resulta em:
Agora, avaliamos essa expressão de 
  até 
 :
Resposta
Portanto, o volume do sólido obtido é: