Determine o volume dos sólidos obtidos se a região plana 
  descrita for rotacionada em torno do eixo 
  :© 
  é limitada por 
  e 
 . Resposta: 
  u.v.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido gerado quando a região 
  é rotacionada em torno do eixo 
 . A região 
  é delimitada pelas curvas 
  e 
 . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área das “fatias” circulares formadas pela rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites de integração. Temos:
Igualando as duas expressões para 
 :
Multiplicando ambos os lados por 
  para eliminar os denominadores:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, os limites de integração para 
  são de 
  até 
 .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume usando o método dos discos. A fórmula geral para o volume 
  ao rotacionar uma região em torno do eixo 
  é:
Onde:
- 
é a função de cima (a mais distante do eixo )  - 
é a função de baixo (a mais próxima do eixo )  
No nosso caso, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo de 
  a 
 .
Passo 4
Vamos analisar as funções:
Vamos avaliar em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, em 
 :
Assim, 
  está acima de 
  nesse intervalo. Portanto, 
  e 
 .
Passo 5
Vamos montar a integral para o volume:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto:
Passo 8
Vamos calcular os valores nos limites de integração.
Primeiro, para 
 :
Agora, para 
 :
Passo 9
Subtraindo os valores: