Q3. Determine o volume total de vazios intersticiais \mathrm{em} \mathrm{cm}^{3} por mol de ouro. Considere que o ouro tem raio atómico igual a 0,144 \mathrm{~nm} e forma uma estrutura CFC.

Passo 1

O enunciado pede o volume total dos vazios intersticiais por mol de ouro. Informações dadas:
  • Raio atómico: R=0,144\\ \mathrm{nm}.
  • Estrutura cristalina: cúbica de faces centradas (CFC).
    O que precisamos encontrar: o volume total ocupado pelas cavidades intersticiais (assumindo-as como esferas de raio máximo que cabem nos buracos octaédricos e tetraédricos) por mol de ouro, em \mathrm{cm}^3.

Passo 2

Premissas e fatos geométricos da CFC que vamos usar (explicando o porquê):
  • Na CFC há 4 átomos por celula unitária.
  • Existem 4 sítios octaédricos e 8 sítios tetraédricos por célula unitária (valores padrão para CFC).
  • A maior esfera que cabe no sítio octaédrico tem raio r_{\mathrm{o}} relacionado a R por
r_{\mathrm{o}}= \left(\sqrt{2}-1\right)R \approx 0,41421356\,R.
Justificação curta: nas faces os átomos tocam ao longo da diagonal da face, obtém‑se a=2\sqrt{2}\,R (onde a é a aresta da cela) e o buraco octaédrico central tem raio a/2-R=\sqrt{2}R-R=(\sqrt{2}-1)R.
  • A maior esfera que cabe no sítio tetraédrico tem raio r_{\mathrm{t}} dado por
r_{\mathrm{t}}=\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-1\right)R \approx 0,22474487\,R.
Justificação curta: a distância do centro do tetraedro aos vértices é a\sqrt{3}/4; usando a=2\sqrt{2}\,R chega‑se à expressão acima e subtrai‑se R.

Passo 3

Converter o raio atómico para \mathrm{cm} e calcular r_{\mathrm{o}} e r_{\mathrm{t}}.
  • Conversão:
R=0,144\\ \mathrm{nm}=0,144\times10^{-7}\\ \mathrm{cm}=1,44\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  • Raios dos vazios:
r_{\mathrm{o}}=(\sqrt{2}-1)R\approx0,41421356\times1,44\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}=5,9647\times10^{-9}\\ \mathrm{cm},
r_{\mathrm{t}}=\left(\frac{\sqrt{6}}{2}-1\right)R\approx0,22474487\times1,44\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}=3,2363\times10^{-9}\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Volume de uma esfera (fórmula usada):
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Calcular volumes individuais dos vazios (octa e teta) e somar por célula unitária.
  • Volume de um sítio octaédrico:
V_{\mathrm{o}}=\frac{4}{3}\pi r_{\mathrm{o}}^{3}.
Substituindo numericamente (usar \pi\approx3,1416):
V_{\mathrm{o}}\approx\frac{4}{3}\times3,1416\times(5,9647\times10^{-9})^{3}\\ \mathrm{cm}^{3}\approx8,876\times10^{-25}\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Volume total dos sítios octaédricos por célula (há 4):
V_{\mathrm{o,\,tot\;por\;cela}}=4V_{\mathrm{o}}\approx4\times8,876\times10^{-25}=3,550\times10^{-24}\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Volume de um sítio tetraédrico:
V_{\mathrm{t}}=\frac{4}{3}\pi r_{\mathrm{t}}^{3}\approx\frac{4}{3}\times3,1416\times(3,2363\times10^{-9})^{3}\\ \mathrm{cm}^{3}\approx1,425\times10^{-25}\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Volume total dos sítios tetraédricos por célula (há 8):
V_{\mathrm{t,\,tot\;por\;cela}}=8V_{\mathrm{t}}\approx8\times1,425\times10^{-25}=1,140\times10^{-24}\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Volume total de vazios por célula unitária:
V_{\mathrm{vazios\;por\;cela}}=V_{\mathrm{o,\,tot\;por\;cela}}+V_{\mathrm{t,\,tot\;por\;cela}}\approx3,550\times10^{-24}+1,140\times10^{-24}=4,690\times10^{-24}\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 5

Converter para volume por mol.
  • Número de células unitárias por mol: cada célula tem 4 átomos, e um mol tem N_A átomos, logo
\text{células por mol}=\frac{N_A}{4},\qquad N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}.é
  • Volume total de vazios por mol:
V_{\mathrm{vazios\;por\;mol}}=V_{\mathrm{vazios\;por\;cela}}\times\frac{N_A}{4}.
Substituindo valores:
V_{\mathrm{vazios\;por\;mol}}\approx4,690\times10^{-24}\times\frac{6,022\times10^{23}}{4}.
Calcule:
\frac{6,022\times10^{23}}{4}=1,5055\times10^{23},
V_{\mathrm{vazios\;por\;mol}}\approx4,690\times10^{-24}\times1,5055\times10^{23}=0,706\\ \mathrm{cm}^{3}.
(Os arredondamentos foram feitos mantendo 3 algarismos significativos compatíveis com os dados.)

Resposta

\,0,706\\ \mathrm{cm}^3\text{ por mol}

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