4.31* (a) Escreva a expressiõo para a energia total E das duas massas da máquina de Atwood da Figura 4.15 cm termos das coordenadas x \mathrm{e} \dot{x}. (b) Mostre que (o que é verdade para qualquer sistema conservativo unidimensional) você pode obter a equaçăo do movimento para a coordenada x derivando a equação E= const. Verifique que a equaçăo do movimento é a mesma que você obteria aplicando a segunda lei de Newton para cada massa e eliminando as trações desconhecidas das duas equações resultantes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Escrever a expressão para a energia total E das duas massas da máquina de Atwood em termos da coordenada x e da velocidade \dot{x}.
  • (b) Mostrar que, impondo E= constante e derivando no tempo, obtém-se a equação do movimento para x; e verificar que essa equação é a mesma que se obtém aplicando a segunda lei de Newton a cada massa e eliminando a tensão do fio.
Informações relevantes dadas (ou assumidas como no problema padrão da máquina de Atwood):
  • Há duas massas, denotadas por m_1 e m_2.
  • O sistema é ideal: fio inextensível e sem massa, polia sem atrito.
  • A coordenada única do sistema é x: se x for o deslocamento para baixo da massa m_1, então, por restrição do fio, a massa m_2 se desloca a mesma distância para cima (ou seja, sua coordenada é -x se medirmos para baixo como positivo).
  • A aceleração da gravidade é g.
  • Queremos expressar a energia cinética e a energia potencial das duas massas em função de x e \dot{x}.

Passo 2

Escolher convenção de sinais e escrever as posições e velocidades das massas em função de x.
Explicação didática pequena (por que fazemos isso): para escrever energias precisamos das alturas (para a energia potencial) e das velocidades (para a energia cinética). A restrição do fio reduz o problema a uma única coordenada x.
  • Definir x como o deslocamento para baixo da massa m_1. Então a posição vertical de m_1 (medida para baixo a partir de alguma referência) é x_1 = x.
  • A massa m_2 se move na direção oposta: sua posição vertical (medida para baixo) é x_2 = -x.
  • As velocidades são as derivadas: \dot{x}_1 = \dot{x},\qquad \dot{x}_2 = -\dot{x}.Como energia cinética usa o quadrado da velocidade, os sinais das velocidades importam só para direções; os módulos são iguais.

Passo 3

Energia cinética total T.
Conceito rápido: a energia cinética de uma partícula de massa m com velocidade v é \tfrac{1}{2} m v^2. Para várias partículas, soma-se cada contribuição.
Para as duas massas:
T=\tfrac{1}{2}m_1\dot{x}_1^{2}+\tfrac{1}{2}m_2\dot{x}_2^{2}.
Substituindo \dot{x}_1=\dot{x} e \dot{x}_2=-\dot{x} (e lembrando que (- \dot{x})^2=\dot{x}^2):
T=\tfrac{1}{2}m_1\dot{x}^{2}+\tfrac{1}{2}m_2\dot{x}^{2}=\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}^{2}.

Passo 4

Energia potencial gravitacional total U.
Conceito rápido: energia potencial de uma massa m a uma altura h (medida positiva para cima) é m g h. Se usamos coordenada para baixo como positiva, convém escrever a altura vertical h em função de x com sinal apropriado.
Escolhemos referência tal que quando x=0 as energias potenciais tenham algum valor base que podemos levar a zero (constante irrelevante para as equações do movimento). Medindo altura para cima como positiva:
  • Altura de m_1 é h_1 = -x (porque x mede para baixo).
  • Altura de m_2 é h_2 = x.
Portanto as energias potenciais são U_1 = m_1 g h_1 = -m_1 g x e U_2 = m_2 g h_2 = m_2 g x. Somando:
U = U_1+U_2 = -m_1 g x + m_2 g x = (m_2 - m_1)g x.
Observação: poderíamos adicionar uma constante U_0 de referência, mas isso não altera as equações do movimento; para simplicidade tomamos U_0=0.

Passo 5

Energia total E (resposta da parte a).
Somando T e U:
E = T + U = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}^{2} + (m_2 - m_1)g x.
Isto responde a (a): expressão de E em termos de x e \dot{x}.
Comentário didático: dá pra ver fisicamente: a parte cinética depende da soma das massas (ambas se movem), e a parte potencial depende da diferença de massa (se m_2>m_1 a energia diminui ao aumentar x, indicando tendência de m_2 descer).

Passo 6

Derivar E= constante para obter a equação do movimento (parte b).
Princípio usado: para um sistema conservativo sem forças dissipativas a energia total é constante, logo \dfrac{dE}{dt}=0. Vamos derivar E que obtivemos.
Escrevendo E novamente:
E = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}^{2} + (m_2 - m_1)g x.
Derivando em relação ao tempo:
\frac{dE}{dt}=(m_1+m_2)\dot{x}\ddot{x} + (m_2-m_1)g\dot{x}.
Colocando \dfrac{dE}{dt}=0:
(m_1+m_2)\dot{x}\ddot{x} + (m_2-m_1)g\dot{x}=0.
Fatorando \dot{x}:
\dot{x}\Big[(m_1+m_2)\ddot{x} + (m_2-m_1)g\Big]=0.
Explicação sobre o fator \dot{x}: a equação acima é verdadeira para qualquer instante. Existem instantes em que \dot{x}=0 (momento de velocidade nula), mas a igualdade deve valer sempre; para os instantes em que \dot{x}\neq 0 podemos dividir por \dot{x} e obter a equação de movimento. Como o resultado deve ser válido globalmente (e a equação de movimento é uma identidade em tempo), a parte entre colchetes deve ser zero. Assim obtemos:
(m_1+m_2)\ddot{x} + (m_2-m_1)g = 0.
Ou rearranjando:
\ddot{x} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\, g.
Comentário físico: se m_2>m_1 então \ddot{x}<0, isto é, m_1 acelera para cima (porque escolhemos x positivo para baixo).

Passo 7

Verificação por Newton: equações para cada massa e eliminação da tensão.
Explicação didática: aqui vamos aplicar a segunda lei de Newton ( F_{\rm net}=m a) a cada massa, escrevendo forças claras e sinais coerentes com a convenção adotada, e eliminar a tensão T (força interna desconhecida do fio) para obter uma equação só para \ddot{x}.
Escolhemos a mesma convenção: para m_1 tomamos para baixo como direção positiva. Para m_2 também tomamos para baixo como positiva (portanto, quando m_2 sobe sua aceleração é negativa e igual a -\ddot{x}).
  • Força resultante em m_1: m_1\ddot{x} = m_1 g - T.
    (Peso m_1 g para baixo positivo, tensão T para cima negativa.)
  • Para m_2: sua aceleração, no eixo para baixo, é \ddot{x}_2 = -\ddot{x}. Aplicando Newton:
    m_2\ddot{x}_2 = m_2 g - T \quad\Rightarrow\quad m_2(-\ddot{x}) = m_2 g - T.
    Reescrevendo:
    -m_2\ddot{x} = m_2 g - T \quad\Rightarrow\quad T = m_2 g + m_2\ddot{x}.
Agora igualamos as duas expressões para T. Da equação de m_1 temos T = m_1 g - m_1\ddot{x}. Igualando:
m_1 g - m_1\ddot{x} = m_2 g + m_2\ddot{x}.
Agrupando termos:
(m_1 - m_2)g = (m_1 + m_2)\ddot{x}.
Isto leva a
\ddot{x} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\, g,
exatamente a mesma equação que obtivemos a partir de E= constante.

Passo 8

Comentário final e reforço didático.
  • O procedimento por energia é útil porque evita tratar forças internas (tensão) explicitamente; basta usar conservação de energia e derivar.
  • A divisão por \dot{x} ao derivar E é formal: os instantes em que \dot{x}=0 são pontos especiais (velocidade instantaneamente nula), mas a equação de movimento que resulta da conservação de energia deve ser válida como identidade no tempo e coincide com a equação obtida por forças.
  • Resultado físico intuitivo: a aceleração depende da diferença de massas (quanto maior a diferença, maior a aceleração) e é reduzida pela soma das massas (mais inércia).

Resposta

E=\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}^{2}+(m_2-m_1)g x
\ddot{x}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g

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