4.31* (a) Escreva a expressiõo para a energia total
das duas massas da máquina de Atwood da Figura 4.15 cm termos das coordenadas
. (b) Mostre que (o que é verdade para qualquer sistema conservativo unidimensional) você pode obter a equaçăo do movimento para a coordenada
derivando a equação
const. Verifique que a equaçăo do movimento é a mesma que você obteria aplicando a segunda lei de Newton para cada massa e eliminando as trações desconhecidas das duas equações resultantes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Escrever a expressão para a energia total
das duas massas da máquina de Atwood em termos da coordenada e da velocidade . - (b) Mostrar que, impondo
constante e derivando no tempo, obtém-se a equação do movimento para ; e verificar que essa equação é a mesma que se obtém aplicando a segunda lei de Newton a cada massa e eliminando a tensão do fio.
Informações relevantes dadas (ou assumidas como no problema padrão da máquina de Atwood):
- Há duas massas, denotadas por
e . - O sistema é ideal: fio inextensível e sem massa, polia sem atrito.
- A coordenada única do sistema é
: se for o deslocamento para baixo da massa , então, por restrição do fio, a massa se desloca a mesma distância para cima (ou seja, sua coordenada é se medirmos para baixo como positivo). - A aceleração da gravidade é
. - Queremos expressar a energia cinética e a energia potencial das duas massas em função de
e .
Passo 2
Escolher convenção de sinais e escrever as posições e velocidades das massas em função de
.
Explicação didática pequena (por que fazemos isso): para escrever energias precisamos das alturas (para a energia potencial) e das velocidades (para a energia cinética). A restrição do fio reduz o problema a uma única coordenada
.
- Definir
como o deslocamento para baixo da massa . Então a posição vertical de (medida para baixo a partir de alguma referência) é . - A massa
se move na direção oposta: sua posição vertical (medida para baixo) é . - As velocidades são as derivadas:
Como energia cinética usa o quadrado da velocidade, os sinais das velocidades importam só para direções; os módulos são iguais.
Passo 3
Energia cinética total
.
Conceito rápido: a energia cinética de uma partícula de massa
com velocidade
é
. Para várias partículas, soma-se cada contribuição.
Para as duas massas:
Substituindo
e
(e lembrando que
):
Passo 4
Energia potencial gravitacional total
.
Conceito rápido: energia potencial de uma massa
a uma altura
(medida positiva para cima) é
. Se usamos coordenada para baixo como positiva, convém escrever a altura vertical
em função de
com sinal apropriado.
Escolhemos referência tal que quando
as energias potenciais tenham algum valor base que podemos levar a zero (constante irrelevante para as equações do movimento). Medindo altura para cima como positiva:
- Altura de
é (porque mede para baixo). - Altura de
é .
Portanto as energias potenciais são
e
. Somando:
Observação: poderíamos adicionar uma constante
de referência, mas isso não altera as equações do movimento; para simplicidade tomamos
.
Passo 5
Energia total
(resposta da parte a).
Somando
e
:
Isto responde a (a): expressão de
em termos de
e
.
Comentário didático: dá pra ver fisicamente: a parte cinética depende da soma das massas (ambas se movem), e a parte potencial depende da diferença de massa (se
a energia diminui ao aumentar
, indicando tendência de
descer).
Passo 6
Derivar
constante para obter a equação do movimento (parte b).
Princípio usado: para um sistema conservativo sem forças dissipativas a energia total é constante, logo
. Vamos derivar
que obtivemos.
Escrevendo
novamente:
Derivando em relação ao tempo:
Colocando
:
Fatorando
:
Explicação sobre o fator
: a equação acima é verdadeira para qualquer instante. Existem instantes em que
(momento de velocidade nula), mas a igualdade deve valer sempre; para os instantes em que
podemos dividir por
e obter a equação de movimento. Como o resultado deve ser válido globalmente (e a equação de movimento é uma identidade em tempo), a parte entre colchetes deve ser zero. Assim obtemos:
Ou rearranjando:
Comentário físico: se
então
, isto é,
acelera para cima (porque escolhemos
positivo para baixo).
Passo 7
Verificação por Newton: equações para cada massa e eliminação da tensão.
Explicação didática: aqui vamos aplicar a segunda lei de Newton (
) a cada massa, escrevendo forças claras e sinais coerentes com a convenção adotada, e eliminar a tensão
(força interna desconhecida do fio) para obter uma equação só para
.
Escolhemos a mesma convenção: para
tomamos para baixo como direção positiva. Para
também tomamos para baixo como positiva (portanto, quando
sobe sua aceleração é negativa e igual a
).
-
Força resultante em
:
(Pesopara baixo positivo, tensão para cima negativa.) -
Para
: sua aceleração, no eixo para baixo, é . Aplicando Newton: Reescrevendo:
Agora igualamos as duas expressões para
. Da equação de
temos
. Igualando:
Agrupando termos:
Isto leva a
exatamente a mesma equação que obtivemos a partir de
constante.
Passo 8
Comentário final e reforço didático.
- O procedimento por energia é útil porque evita tratar forças internas (tensão) explicitamente; basta usar conservação de energia e derivar.
- A divisão por
ao derivar é formal: os instantes em que são pontos especiais (velocidade instantaneamente nula), mas a equação de movimento que resulta da conservação de energia deve ser válida como identidade no tempo e coincide com a equação obtida por forças. - Resultado físico intuitivo: a aceleração depende da diferença de massas (quanto maior a diferença, maior a aceleração) e é reduzida pela soma das massas (mais inércia).