Determine whether each system mathcal{H} given below is memoryless.
mathcal{H} x(t)=42;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema \mathcal{H} dado por
\mathcal{H}x(t)=42
é memoryless. Informação fornecida:
  • Para qualquer sinal de entrada x(t) e para todo tempo t, a saída é a constante 42.

Passo 2

Definição de sistema memoryless (sem memória), explicada de forma simples e prática:
  • Um sistema é memoryless se, para qualquer instante t_0, o valor da saída naquele instante depende somente do valor da entrada naquele mesmo instante t_0 (e possivelmente do próprio tempo t_0), e não depende de valores da entrada em instantes diferentes de t_0.
  • Uma forma prática de testar isso: escolher dois sinais de entrada x_1 e x_2 tais que x_1(t_0)=x_2(t_0). Se sempre ocorrer que \mathcal{H}x_1(t_0)=\mathcal{H}x_2(t_0) para todo t_0, então o sistema é memoryless.
  • Intuição: se a saída no tempo t_0 pode ser determinada olhando só para o valor da entrada naquele mesmo tempo, não há memória do passado ou futuro.

Passo 3

Estratégia para este sistema concreto:
  • Vou aplicar o teste acima tomando um instante arbitrário t_0 e dois sinais x_1 e x_2 qualquer com x_1(t_0)=x_2(t_0).
  • Mostrarei que as saídas no tempo t_0 são iguais, o que garante que o sistema é memoryless.

Passo 4

Aplicando ao sistema \mathcal{H}x(t)=42:
  • Para qualquer sinal x_1 e qualquer t_0,
\mathcal{H}x_1(t_0)=42.
  • Para qualquer sinal x_2 e o mesmo t_0,
\mathcal{H}x_2(t_0)=42.
  • Em particular, se x_1(t_0)=x_2(t_0) (ou mesmo se forem diferentes), as saídas coincidem:
\mathcal{H}x_1(t_0)=\mathcal{H}x_2(t_0).
  • Logo, a saída em t_0 não depende de valores da entrada em instantes diferentes de t_0; na verdade nem depende de x(t_0), mas isso ainda satisfaz a definição de memoryless.

Passo 5

Conclusão intuitiva e motivadora:
  • Como a saída em qualquer instante é sempre a mesma constante 42, não há dependência de passado nem de futuro da entrada. Portanto o sistema não guarda memória dos valores da entrada.
  • Bom trabalho: sistemas constantes como este são um exemplo simples e seguro de sistema sem memória — fácil de entender na prova!

Resposta

O sistema é memoryless.

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