Determine whether each system
given below is memoryless.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema
dado por
é memoryless. Informação fornecida:
- Para qualquer sinal de entrada
e para todo tempo , a saída é a constante .
Passo 2
Definição de sistema memoryless (sem memória), explicada de forma simples e prática:
- Um sistema é memoryless se, para qualquer instante
, o valor da saída naquele instante depende somente do valor da entrada naquele mesmo instante (e possivelmente do próprio tempo ), e não depende de valores da entrada em instantes diferentes de . - Uma forma prática de testar isso: escolher dois sinais de entrada
e tais que . Se sempre ocorrer que para todo , então o sistema é memoryless. - Intuição: se a saída no tempo
pode ser determinada olhando só para o valor da entrada naquele mesmo tempo, não há memória do passado ou futuro.
Passo 3
Estratégia para este sistema concreto:
- Vou aplicar o teste acima tomando um instante arbitrário
e dois sinais e qualquer com . - Mostrarei que as saídas no tempo
são iguais, o que garante que o sistema é memoryless.
Passo 4
Aplicando ao sistema
:
- Para qualquer sinal
e qualquer ,
- Para qualquer sinal
e o mesmo ,
- Em particular, se
(ou mesmo se forem diferentes), as saídas coincidem:
- Logo, a saída em
não depende de valores da entrada em instantes diferentes de ; na verdade nem depende de , mas isso ainda satisfaz a definição de memoryless.
Passo 5
Conclusão intuitiva e motivadora:
- Como a saída em qualquer instante é sempre a mesma constante
, não há dependência de passado nem de futuro da entrada. Portanto o sistema não guarda memória dos valores da entrada. - Bom trabalho: sistemas constantes como este são um exemplo simples e seguro de sistema sem memória — fácil de entender na prova!
Resposta
O sistema é memoryless.