For each function x given below, find a single expression for x (i.e., an expression that does not involve multiple cases). If the expression for x consists of a finite number of terms, group similar unit-step function terms together in the expression for x.
x(t)=1-t^{2} for -1 \leq t<1 and x(t)=x(t-2) for all t;

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • Para -1 \leq t < 1 vale \,x(t)=1-t^{2}.
  • Para todo t vale \,x(t)=x(t-2).
O que é pedido: encontrar uma única expressão para x(t) que não seja por casos (ou seja, uma fórmula única válida para todo t), preferivelmente escrita usando funções degrau unitário agrupadas quando apropriado.
Dados relevantes que vamos usar:
  • O valor no intervalo base [-1,1): \,x(t)=1-t^{2}.
  • A relação de repetição \,x(t)=x(t-2) indica que a função se repete com período 2: os valores em [-1,1) se repetem deslocados por múltiplos de 2.

Passo 2

Vamos relembrar a ferramenta que transforma uma descrição por intervalos em uma única soma: a função degrau unitário \,u(t)\), definida por \[u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t\ge 0. \end{cases}
Com ela, o indicador do intervalo [a,b)\] pode ser escrito como \[\mathbf{1}_{[a,b)}(t)=u(t-a)-u(t-b).\] Explicação curta: essa diferença é \(1 quando t\ge a mas ainda <b, e é 0 fora desse intervalo. Isso nos permite escrever funções definidas por trecho como somas de termos multiplicados por esses indicadores.]

Passo 3

Pelo caráter periódico de período 2, para qualquer inteiro k temos que, quando
t\in[-1+2k,\;1+2k),
o valor de x(t) é o mesmo que o valor em t-2k (que está no intervalo base [-1,1)). Assim
x(t)=x(t-2k)=1-(t-2k)^{2}\qquad\text{para }t\in[-1+2k,\;1+2k).
Ou seja: em cada intervalo [-1+2k,1+2k) a função é o polinômio 1-(t-2k)^2.

Passo 4

Agora representamos a função como soma sobre todos os blocos intervalares deslocados por 2k, usando o indicador em termos do degrau:
  • indicador do intervalo [-1+2k,1+2k) é \,u\big(t-(-1+2k)\big)-u\big(t-(1+2k)\big), que simplifica para \,u(t+1-2k)-u(t-1-2k).
Multiplicando o polinômio correspondente em cada bloco pelo respectivo indicador e somando sobre todos os k\in\mathbb{Z} obtemos a expressão única:
x(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left(1-(t-2k)^{2}\right)\left[u\big(t+1-2k\big)-u\big(t-1-2k\big)\right].
Comentário didático: cada termo da soma “liga” o polinômio 1-(t-2k)^2 apenas no trecho [-1+2k,1+2k); fora desse trecho o fator entre colchetes é zero, então só contribuem os termos cujo intervalo contém t. Como exatamente um desses intervalos contém t, a soma infinita em cada ponto t reduz-se a um único termo não-zero, recuperando o valor correto.

Passo 5

Algumas variações/observações úteis (para a prova):
  • A expressão dada é a maneira padrão de escrever uma extensão periódica construída por repetição de um “pulso” (o pulso aqui é 1-t^{2} em [-1,1)) usando degraus.
  • Alternativamente, usando uma função retangular \Pi (se conhecida), poderíamos escrever a mesma ideia de forma compacta, mas a forma com degrau está em termos elementares e costuma ser exigida em provas.
  • Se for necessário, pode expandir \left(1-(t-2k)^{2}\right) e, se for conveniente, agrupar termos envolvendo as mesmas combinações de degraus. A forma apresentada já agrupa naturalmente o fator de degrau por bloco.

Resposta

x(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left(1-(t-2k)^{2}\right)\left[u\big(t+1-2k\big)-u\big(t-1-2k\big)\right]

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