For each function
given below, find a single expression for
(i.e., an expression that does not involve multiple cases). If the expression for
consists of a finite number of terms, group similar unit-step function terms together in the expression for
.
for
and
for all
;
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras:
- Para
vale . - Para todo
vale .
O que é pedido: encontrar uma única expressão para
que não seja por casos (ou seja, uma fórmula única válida para todo
), preferivelmente escrita usando funções degrau unitário agrupadas quando apropriado.
Dados relevantes que vamos usar:
- O valor no intervalo base
: . - A relação de repetição
indica que a função se repete com período : os valores em se repetem deslocados por múltiplos de .
Passo 2
Vamos relembrar a ferramenta que transforma uma descrição por intervalos em uma única soma: a função degrau unitário
Com ela, o indicador do intervalo
quando
mas ainda
, e é
fora desse intervalo. Isso nos permite escrever funções definidas por trecho como somas de termos multiplicados por esses indicadores.]
Passo 3
Pelo caráter periódico de período
, para qualquer inteiro
temos que, quando
o valor de
é o mesmo que o valor em
(que está no intervalo base
). Assim
Ou seja: em cada intervalo
a função é o polinômio
.
Passo 4
Agora representamos a função como soma sobre todos os blocos intervalares deslocados por
, usando o indicador em termos do degrau:
- indicador do intervalo
é , que simplifica para .
Multiplicando o polinômio correspondente em cada bloco pelo respectivo indicador e somando sobre todos os
obtemos a expressão única:
Comentário didático: cada termo da soma “liga” o polinômio
apenas no trecho
; fora desse trecho o fator entre colchetes é zero, então só contribuem os termos cujo intervalo contém
. Como exatamente um desses intervalos contém
, a soma infinita em cada ponto
reduz-se a um único termo não-zero, recuperando o valor correto.
Passo 5
Algumas variações/observações úteis (para a prova):
- A expressão dada é a maneira padrão de escrever uma extensão periódica construída por repetição de um “pulso” (o pulso aqui é
em ) usando degraus. - Alternativamente, usando uma função retangular
(se conhecida), poderíamos escrever a mesma ideia de forma compacta, mas a forma com degrau está em termos elementares e costuma ser exigida em provas. - Se for necessário, pode expandir
e, se for conveniente, agrupar termos envolvendo as mesmas combinações de degraus. A forma apresentada já agrupa naturalmente o fator de degrau por bloco.